自然数単語

15件
シゼンスウ
1.1千文字の記事
  • 10
  • 0pt
掲示板へ

自然数とは、普通に数えられる1,2,3・・・といった、いわゆる「数(かず)」の事を数学的に表現した物である。

もっとも、1,2,3・・・というのは人間の与えた記号であり、十進法で数える必然性もない。お好みならば適当な記数法を開発して自分で勝手に数えるのも一。要は自然界のものと並べて「一対一で対応が取れる」という性質そのものが重要である。

ちなみに0が自然数に含まれるかは微妙な問題で、バナナおやつ論争同様、閥によって意見が割れている。一応0はインド人が「発明した」数であり、自然界に「0個の物体」は実在できないため、「自然」かと問われればちょっと違う気もする。あなたはどう思います?

つまりどういうことだってばよ!?

考え方1

物を数えるとき、カウントアップするときは1からスタートするんだから0は入っちゃまずいだろうと言う考え。

考え方2

数を数えるっていうのは、つまり袋に入ってるりんごの数を表すってことなんだから、0を含めないと袋が空っぽである状態を表現できないのでまずいだろうと言う考え。

で、どっち?

自然数という言葉が使われる場所によって意味が異なるので、その都度0を含むかどうか確認しよう!

(※日本において高校生までの算数/数学であれば、特に断りのない限り自然数とは0を含まない正の整数します)

ペアノの公理

自然数について、厳密に定義したもの。自然数とは以下の条件を満たすものをし、逆に以下の条件を満たすものは自然数と呼んでいい。

  1. 「最初の数」が存在する。
  2. いかなる数にも、「次の数」が存在する。
  3. 2つの数が異なれば、それぞれの次の数も異なる。
  4. いかなる数も、その次の数は最初の数にならない。
  5. 数学的帰納法が適用できる。

自然数は、1列の無限に続くドミノに例えられるが、その例えでペアノの公理を記述すると次のようになる。

  1. 初めに手で倒すドミノが1つだけ存在する。
  2. いかなるドミノにも、そのドミノによって倒されるドミノが1つだけ存在する。
  3. 2つの異なるドミノが、同一のドミノを倒すことはない。
  4. いかなるドミノも、手で倒すドミノを倒すことはない。
  5. 最初のドミノが手で倒され、倒されたドミノが必ず次のドミノを倒すとき、全てのドミノが倒れる。

いくつあるの?

自然数の個数は無限だが、無限にも多さによって種類がある。これを濃度と呼び、自然数の濃度は可算濃度である。ちなみに整数有理数は自然数を使って番号ふることができる、つまり一対一対応させることができるので同じ可算濃度となる。なお無理数実数は自然数を用いて番号をふれないことが明でき、連続体濃度という別の濃度を持つ。

関連コミュニティ

関連項目

【スポンサーリンク】

  • 10
  • 0pt
記事編集 編集履歴を閲覧

ニコニ広告で宣伝された記事

お兄ちゃんはおしまい! (単) 記事と一緒に動画もおすすめ!
提供: Higuma
もっと見る

この記事の掲示板に最近描かれたお絵カキコ

お絵カキコがありません

この記事の掲示板に最近投稿されたピコカキコ

ピコカキコがありません

自然数

13 ななしのよっしん
2015/03/23(月) 15:46:17 ID: wkdgee6XGs
公理」は無条件にそれを認めたときどんな論理がそこから展開されるか。というもので、
ここでは無限に一列に並んだドミノ世界を考えている場合だからこれでいいのだ。
👍
高評価
0
👎
低評価
0
14 ななしのよっしん
2015/09/20(日) 04:19:12 ID: Nwhw3QvNuu
>>12
つまりそういう配置をしないってこと
一直線に並べただけのドミノを想定してくだち

複素数を考えると0でドミノが交差してると言えなくもないけどスレチですねごめん
👍
高評価
0
👎
低評価
0
15 ななしのよっしん
2015/09/25(金) 04:15:18 ID: B9sI4NEwXT
数学的帰納法は厳密には公理というより公理というべきだけどね。
帰納法抜きだとどうなるか気になる人はロビンソン算術でググってみよう!
👍
高評価
0
👎
低評価
0
16 ななしのよっしん
2018/04/05(木) 10:52:40 ID: nIXB+IRt9L
大学の小テストで、いくつか挙げられた数の中から自然数を選べという問題で
0除外したら×つけられた。
こんな曖昧な問題作るなやクソ教授
👍
高評価
1
👎
低評価
0
17 ななしのよっしん
2018/05/17(木) 21:56:40 ID: 6nrFfQNTkJ
自然数を作った。それ以外はみな人間の業である」とはクロネッカの言葉だが
実際のところ、自然数を作った事こそが正に人間の業ではないかと自分には思える。
人間は何でも数えられるし、数えることしか出来ないから。
👍
高評価
0
👎
低評価
0
18 ななしのよっしん
2020/06/09(火) 14:22:28 ID: PwMQ3zwnV2
ゼロ自然数から外すと自然数足し算についてモノイドにならないという欠点がある
👍
高評価
0
👎
低評価
0
19 ななしのよっしん
2021/05/27(木) 07:32:01 ID: k+xEtYYwyV
>>16
クッソカメだけど、そんな問題出るってどんな大学だよこれw
九九とか勉強してんのかな
👍
高評価
0
👎
低評価
0
20 ななしのよっしん
2022/11/18(金) 18:27:05 ID: AKkdbGrNh0
人間自然な感覚」から生まれた都合のいい前提
つまり文系お気持ちとやらと変わりないただのペテン
👍
高評価
0
👎
低評価
0
21 ななしのよっしん
2022/11/18(金) 18:31:35 ID: PwMQ3zwnV2
数論は自然数以外ならスッキリうまくいくって理論がそこそこあるので実際自然数はぜんぜん自然じゃない可性がある
👍
高評価
0
👎
低評価
0
22 ななしのよっしん
2024/04/18(木) 11:27:16 ID: nIXB+IRt9L
>>19
講義の本編ではなく、高校までの数学の復習という位置づけだった。
さすがに九九の復習はやらんかった
👍
高評価
0
👎
低評価
0