ソフィー・ジェルマン素数とは (ソフィージェルマンソスウとは) [単語記事]

ソフィー・ジェルマン素数とは、自分の2倍に1を足した数も素数である素数のことである。

概要

ソフィー・ジェルマン素数は、フランスの数学者のソフィー・ジェルマンに因んで名付けられた素数である。

ソフィー・ジェルマン素数が無限にあるかどうかは2023年時点でまだ分かっていない。

また、ソフィー・ジェルマン素数pに対して2p+1が素数のとき、2p+1は、安全素数と呼ばれる。

例えば、2は、2✕2+1=5であり、5も素数なので、2はソフィー・ジェルマン素数であり、5は安全素数と呼ばれる。5なんて10進法だと倍数判定が3と並んで最も簡単な素数だと思うが、暗号理論において、RSA暗号など素因数分解の困難さが安全性の根拠になっている方式やディフィー・ヘルマン鍵共有など離散対数の計算の困難さが安全性の根拠になっている方式に役立つ性質を持つことから、安全素数という名称がつけられているらしい。

5も5✕2＋1＝11であり、11は素数なので、5はソフィー・ジェルマン素数でもある。

さらに言えば、11もソフィー・ジェルマン素数である。こんな関係のある素数を並べた列を第一種カニンガム鎖(微妙に言いにくい)と呼ぶらしい。2から始まる第一種カニンガム鎖の長さは5である。

因みに、ソフィー・ジェルマン素数pの4で割った余りが3のとき、それに対応する安全素数2p+1はメルセンヌ数2^p-1の約数になる。例えば、ソフィー・ジェルマン素数である11に対して2¹¹-1=2047は素因数分解すると23✕89である。

ソフィー・ジェルマン素数のニコニコ大百科での小話

この「ソフィー・ジェルマン素数」という文字列はニコニコ大百科では、この記事が作られる前から「・」の部分以外が何かしらの記事にリンクしている。2023/9/27にこの記事を作成した当時は「ソフィー・ジェルマン素数」という文字列は「ソフィー」・「ジェル」「マン」「素数」という記事とリンクしていた。この「ソフィー」「ジェル」「マン」「素数」のどれかの記事にこの素数の名前の由来である数学者のソフィー・ジェルマンの性別についてのヒントがあるので、見てみるのもいいと思う。この後ろの関連動画でネタバレするが。