SNNN数

SNNN数とは、次の様に定義された数、数列を指す。

1. 十進法表記において2桁以上の自然数であり、一番左の位の数が3、その他の位の数が7となるもの。
2. 小さい方から数えてn番目のSNNN数をS_nと書く。
   　　例：S₁=37,　S₂=377,　…

帰納的定義と一般項

SNNN数列は次の様に帰納的定義ができる。n∈N(自然数集合）

　　S₁=37,　S_n+1=10S_n+7

これについて一般項を求める。

　　S_n+1=10S_n+7　　─①

ここで、次の等式を満たす定数αを考える。

　　α=10α+7　　─②

①と②の辺々の差を考えると

　　S_n+1-α=10(S_n-α)　　─③

定数αは②より-7/9なので③に代入し

　　S_n+1+7/9=10(S_n+7/9)

数列{S_n+7/9}は初項{S₁+7/9}=37+7/9=340/9(=37.77777…)、公比10の等比数列である。
以下等比数列の一般項の求め方より

　　S_n+7/9=340/9*10^n-1　∴　S_n=(34*10ⁿ-7)/9

以上より、SNNN数の一般項は(34*10ⁿ-7)/9で求められる事が分かった。

素数判定

SNNN数の集合には素数がいくつあるかをUDKの代わりに考える。
関連動画およびその後の調査により、次の事が分かっている。

S1=37 (prime) S2=13 x 29 S3=3 x 1259 S4=37 x 1021 S5=19 x 59 x 337 S6=3 x 3 x 419753

S7=37 x 181 x 5641 S8=13 x 953 x 30493 S9=3 x 1259259259 S10=37 x 19609 x 52069 S11=377777777777 (prime)  S12=3 x 47 x 4657 x 5753221

ここから、∀k∈Nを用いて素数判定をしていく。

S_3k

S_3kの項を見てみると、全て素因数に3を持っている。
S_3kは"3"と"3の倍数個の7"で構成されている。3の倍数の判定法より、S_3kが3の倍数であるとすぐに分かる。

一応、ここに帰納法を用いた証明を記しておく。

帰納法を用いて証明する為、T_n=S_3nと置く。

T₁=S₃=3777=3*1259なので、T₁は3の倍数である。

さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき

SNNN数の帰納的定義より、
T_k+1=S_3k+3
　　　=10S_3k+2+7
　　　=100S_3k+1+77
　　　=1000S_3k+777
　　　=1000T_k+3*259

仮定よりT_kは3の倍数であるので、T_k+1で成り立つ。　∴　S_3kは3の倍数

よって、S_3kは合成数である事が分かる。

S_3k-2

S_3k-2の項を見てみると、全て素因数に37を持っている。
37の倍数判定法はあまり知られていないので、先程と同様の手法で証明する。

帰納法を用いて証明する為、T_n=S_3n-2と置く。

T₁=S₁=37なので、T₁は3の倍数である。

さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき

SNNN数の帰納的定義より、
T_k+1=S_3k+1
　　　=10S_3k+7
　　　=100S_3k-1+77
　　　=1000S_3k-2+777
　　　=1000T_k+37*21

仮定よりT_kは37の倍数であるので、T_k+1で成り立つ。　∴　S_3k-2は37の倍数

よって、S_3k+1も合成数である事が分かる。
ただし、S₁=37に限っては素因数を37しか持たない為素数である。

S_3k-1

S_6k-4

S_6k-4の項を見てみると、全て素因数に13を持っている。
13の倍数判定法を用いてもよいが、一応先程と同様の手法で証明する。

帰納法を用いて証明する為、T_n=S_6n-4と置く。

T₁=S₂=377=13*29なので、T₁は13の倍数である。

さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき

SNNN数の帰納的定義より、
T_k+1=S_6k+2
　　　=10⁶S_6k-4+777777
　　　=10⁶T_k+13*59829

仮定よりT_kは13の倍数であるので、T_k+1で成り立つ。　∴　S_6k-4は13の倍数

よって、S_6k-4も合成数である事が分かる。

S_6k-1

S_18k-13

S_18k-13の項を見てみると（上の表ではn=5しかないが）、全て素因数に19を持っている。
19の倍数判定法を用いてもよいが、一応先程と同様の手法で証明する。

帰納法を用いて証明する為、T_n=S_18n-13と置く。

T₁=S₅=377777=19*59*337なので、T₁は19の倍数である。

さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき

SNNN数の帰納的定義より、
T_k+1=S_18k+5
　　　=10¹⁸S_18k-13+777777777777777777
　　　=10¹⁸T_k+3*3*7*11*13*19*37*52579*333667

仮定よりT_kは19の倍数であるので、T_k+1で成り立つ。　∴　S_18k-13は19の倍数

よって、S_18k-13も合成数である事が分かる。

徐々にややこしくなっているが、ポイントとなるのは「レピュニット」と呼ばれる、1を並べてできる数である。wikipediaにはレピュニットの素因数分解が与えられているので、それをヒントに今後も解くことができるかも知れない（適当）

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後は各自でやって、どうぞ。

SNNN数の研究

理系ホモによる飽くなき研究心によってSNNN数は日々多くの人に認知されつつあります（巨大嘘）

• S₅₀₀₀までの素数は4つ　>>11
• S₁～S₄₈の素因数分解表　>>14
• S₃の約数和について　>>15

未解決問題

• 187がSNNN数を割り切るのは何進法か？ >>55
• 全てのnにおいてS(n)=k･S(m)となる自然数(k,m)の組は存在するか？ >>56

解決済み

• SNNN数が187で割れない　>>1 (>>51及び>>53により証明済み)

関連動画

参考リンク

• 倍数証明ジェネレータ
• 倍数判定法一覧
• 377...77 の素因数分解 - STUDIO KAMADA

関連項目

• クッキー☆
• SNNN姉貴（風評被害）
• 数学
• 素数