楕円関数

楕円関数とは、ヤコビの楕円関数から派生した関数族である。

ヤコビの楕円関数は楕円積分の逆関数として定義されたが、一般の楕円関数は二重周期性を持つ正則(微分できることとほぼ同じ意味)な有理型複素関数として定義される。

概要

基本周期格子

2つの複素数ω₁、ω₂を以下のように定義する。

• ω₁ω₂≠0　　(いずれも0でない)
• ω₁/ω₂∉R　（一方がもう一方の実数倍ではない）

複素平面状にω₁とω₂の張る平行四辺形を周期的に敷き詰めたものを基本周期格子と呼ぶ。

t,t'を整数として、z_t=tω₁+t'ω₂と表される点を格子点と呼ぶ。

2つの複素数v,wに対し、v=w+z_tと表されるとき、
vとwをω₁、ω₂を法として合同な複素数と呼び、v≡w(mod ω₁、ω₂)と書く。

基本周期格子上の、極(無限大に発散する点)を除き正則な複素関数を楕円関数と定義する。

従って、定数関数は楕円関数である。

ワイエルシュトラウスの℘関数（ぺーかんすう）

℘関数は、複素数z、格子点z_tに対して以下のように定義される。

℘(z)= 1/z²+Σ_zt≠0(1/(z-z_t)₂-1/z_t²)= 1/z²+Σ_{(t,t')≠(0,0)}(1/(z-tω₁-t'ω₂)2-1/(tω₁+t'ω₂))

これは「正則な関数を格子にあわせて周期的に並べて(発散しないように工夫しながら)全部足し合わせれば周期関数になる」という発想から生まれた関数である。

この級数は格子点を除く全複素数で一様に絶対収束する。

周期を明示する場合は、℘(z|ω₁, ω₂)とする。

℘関数は以下の基本的な性質を持つ。

• ℘(z)は各格子点上に2位の極(z^-2の速さで発散する点)を持つ。
• ℘(-z)=℘(z)　（℘関数は偶関数）
• ℘'(z)は各格子点上に3位の極を持つ。
• ℘'(-z)=-℘'(z)　（℘の微分は奇関数）
• ℘'(z+z_t)=℘'(z)　(℘の微分は℘と同じ2重周期を持つ)

これは三角関数y=cos(x)、y'=-sin(x)の関係と似ている。

℘関数の性質

アイゼンシュタイン級数

アイゼンシュタイン級数G_2n(x)を以下のように決める。

G_2n=G_2n(ω₁, ω₂)=Σ_{(t,t')≠(0,0)}1/(tω₁+t'ω₂)²ⁿ

これは基本格子を与えると決まる量であり、格子Ωの関数G_2n：Ω→Cとみることができる。

G_2nは重さ2nの保型形式である。

不変量

℘(z)をzでローラン展開すると、℘(z)=1/z²+c₀+c₂z²+c₄z⁴+c₆z⁶+…　という表示になる。
適切な式変形により、c₀=0、c_2n=(2n+1)G_2n+2　という値となる。
g₂=20c₂、g₃=28c₄を℘関数の不変量と呼ぶ。g₂,g₃は基本格子を決定すると一意に決定される。
また、ローラン展開の係数はg₂,g₃の多項式で表される。

微分方程式

℘関数は以下の微分方程式を満たす。

1. (℘'(z))²=4(℘(z))³-g₂℘(z)-g₃
2. ℘''(z)=6(℘(z))²-g₂/2
3. ℘'''(z)=12℘(z)℘'(z)

以下帰納的に、℘(z)の高階導関数は℘(z)、℘'(z)の多項式で表される。

これもcos(mx)、sin(mx)を倍角の公式や微分などを通してcos(x)、sin(x)の多項式で表せることと似ている。

x=℘(z)、y=℘'(z)と置き、第一の微分方程式に代入した式y²=4x³-g₂x-g₃を楕円曲線と呼ぶ。

逆に言うと、楕円曲線を媒介変数zで表示したとき楕円関数x=℘(z)、y=℘'(z)の組となる。
これは円の方程式x²+y²=1を媒介変数表示するとx=cos(θ)、y=sin(θ)となることと似ている。

楕円関数体

a(x)、b(x)を多項式関数としたとき、f(x)=a(x)/b(x)（ただしb(x)はゼロ関数ではない）と表される関数を有理型関数と呼ぶ。有利型関数全体は自然な関数同士の演算により体を成す。
f(z),g(z)が周期ω₁、ω₂の楕円関数であるとき、f,gの有理型多項式による関数は再び周期ω₁、ω₂の楕円関数となる。これを楕円関数体と呼ぶ。

f₀(z)が偶関数であるとき、f₀(z)は℘(z)の有理多項式で表すことができる。
つまり、f₀(z)=g₀(℘(z))

f₁(z)が奇関数であるとき、f₁(z)は℘(z)の有理多項式と℘'(z)の積で表すことができる。
つまり、f₁(z)=g₁(℘(z))℘’(z)

従って、楕円関数f(z)は、℘(z)の有理多項式と℘'(z)の積で表すことができる。
つまり、f(z)=af₀(z)+bf₁(z)

以上より、楕円関数と呼ばれるものは、℘関数の多項式で表すことができる。

これも周期関数を三角関数の多項式で表すこと（フーリエ展開表示）ができることと似ている。

ヤコビの楕円関数も℘関数で表すことができる。

判別式

以下のΔを楕円曲線の判別式という。

Δ=g₂³-27g₃²

判別式が0でない時、楕円曲線は3つの異なる解(複素数含む)を持ち、0の時は3重解を一つ持つ。判別式が0のときは尖った部分(特異点)または交差する点がある曲線となる。

g₂³/Δをj-不変量と呼ぶ。これは基本格子の相似変換λ：(ω_1、ω₂)→(λω_1、λω₂)で不変の量であるのでそう呼ばれる。楕円曲線は基本格子により決まるので、j-不変量で分類することができる。j-不変量は格子をうまくとることで複素平面の上半分を走査することができる。また、一つ一つの楕円曲線は、「モジュライ空間」と呼ばれる空間上の一点と見なすことができる。

楕円曲線と保型形式

℘関数が基本格子上の周期関数であることと、格子の関数であるアイゼンシュタイン級数（保型形式）で表示できることから、回り回って楕円関数により保型形式と楕円曲線を結びつけることができる。これは谷山予想と呼ばれており、以下のように表現できる。

有理数体上の楕円曲線Eはある保型形式Fと良く対応していて、互いのゼータ関数が一致する。

楕円曲線はなんだかよくわからないことが多いが、保型形式は扱いやすいため解析がしやすいという利点があるらしい。よくわからないものをよくわかるものに変換して考察するのである。

フェルマーの最終定理は楕円曲線と保型形式の対応から導かれたという。
aⁿ+bⁿ=cⁿという式を満たすa,b,cがあった場合、楕円曲線E：y²=x(x-aⁿ)(x+bⁿ)を考えるとそれに1対1に対応する重さ2の保型形式Fが存在するはずだが、保型形式の議論からそのようなFは存在しないということが言えるという。谷山予想が正しければここで矛盾が起こる。

つまり、フェルマーの最終定理が正しい(仮定)→楕円曲線Eが存在するならば対応する保型形式Fが存在する→しかしそのようなFは存在しない→E⇔Fとする谷山予想は正しいか否か？となる。フェルマーの最終定理は谷山予想に帰着されるのだ。そして谷山予想は肯定的に証明された(現在はモジュラリティ定理と呼ばれる)。

そこから逆に進めることで、谷山予想が正しい→保型形式Fは存在しないから楕円曲線Eは存在しない→フェルマーの最終定理を満たすa,b,cは存在しない、という道筋となる。

これは数論の問題を、楕円曲線を経由して保型形式における議論に落とし込むという画期的な発想であり、バラバラに研究されてきた代数学、幾何学、数論を一つに結びつける重要な仕事であった。

同様にして、abc予想について、a+b=cとなるa,b,cが存在する場合に楕円曲線y²=x(x-a)(x+b)を対応させ、その保型形式を調べるという道筋が与えられる。a,b,cが多項式である場合は早期に解決を見たが、整数である場合は解決が極めて困難であったことは有名である。

関連項目

• 数学関連用語の一覧
• 楕円積分
• 楕円曲線
• 保型形式
• フェルマーの最終定理
• abc予想