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微分単語

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微分とは、数学の分野のひとつであり、積分と合わせて非常に応用分野が広い。某予備校講師の名台詞接点tも微分の問題の解説から生まれたものである。

微分とは?

概要

例えば、自動車60kmののりを1時間で走ったとする。その時の速さは、ご存じ時速60kmである。しかし、走っている間にスピードメーターを見ると、針は絶えず動いており、常に時速60kmをしているわけではない。道路の状況を見ながら60kmを走る間に加速、減速、停止を繰り返すためである。では先ほどの「時速60km」という値は何を意味するのだろうか?

々が小学校で習ったであろう、のりを時間で割った値は、速さの中でも「均の速さ」と呼ばれるものである。均の速さとは、スピードメーターの針が全く動かないように60kmののりを1時間で走った時の速さと言える。

では、スピードメーターの針は何をしているのか。それは、その間の速さである。間の速さも、均の速さと同様にのりを時間で割った値としてめる。

しかし、「間の速さ」とはどうやって測定するのだろうか?速さを知るにはのりと時間の値が必要だが、「間」だとのりも時間も0になってしまう。速さを知るには、2つの点を取ってその間に進んだ距離とそれに要した時間を測定しなければならない。

そこでどうするかというと、第2の点を仮に作り、その仮の点をめたい間に近づけるのである。
ちょっとわかりにくい表現だが、要するに以下の様な操作を行うことである。

例えば出発してから20分後の間の速さを知りたいときは

  1. 出発して20分後と21分後の場所の距離を測る。その値を使ってその1分間の均の速さを算出する
  2. 出発して20分後と2030後の場所の距離を測る。その値を使ってその30間の均の速さを算出する
  3. 1と2の操作を繰り返し、2点間の時間をどんどん短くしていくと、その2点から得られる均の速さも一定の値に近づいてゆく。この値が「間の速さ」である。

グラフで表現するとこんな感じ。2点間の時間を小さくしていくほど、間の速さに近づいているのがわかる。
2つの点をどんどん近づけていくと、その2点から得られる均の速さもどんどんある一定の値に近づいていく。その値を間の速さというのである。
ちなみにこの場合、2点を結ぶ直線のグラフの傾きがその2点間の均の速さになる(傾きが大きいほど速度が大きい)。

このように、間的な変化の割合をめる操作」を微分というのである。先ほどの例で言うと、間の速さのりを時間で微分したものといえる。

もっと詳しく!

ここまで、できるだけ数式を使わずに説明してみた。でも、微分というものは紛れも数学のモノなので、ちゃんと説明しようとするとどうしても数式が必要になる。

ここから先は高校数学の範疇になるので、高校数学を学んだ人か、中学生以下でも「高校数学?上等や!」というガッツのある人向けに説明していこうと思う。

微分の前提知識、「極限」

ここで「極限」というモノを押さえておいて欲しい。学校では、必ず微分の直前に学ぶものである。というか、ぶっちゃけ微分のためだけに教科書に載っていると言っても過言ではない。
(極限?んなもん知っとるわ!という人はこの項は飛ばしてもらっても構わない)
と言っても、表記が威圧的(使うだけですごくムツカシイ数式に見える)なだけで、考え方としては実はそんなに難しいものではない。さらっとだが解説してみよう。

ここに

f(x)=x+1

という関数があるとする。このxをどんどん大きく、大きく、大きな数字にするとf(x)はどうなるか?
当然f(x)もどんどこ増えていき、限に大きくなる。
つまり、「xを限大に近づけるとf(x)限大に発散する」ということになる。

これを、数学では

limx→f(x)=

と表記する。つまり、この式の意味するところは「xを限大に近づけるとf(x)限大に発散しますよ」ということ。
大事なことなので2回書きました。
「lim」は「limit(リミット)」、つまり「極限」の略字である。また、「」は限大を表す。(「むげんだい」で文字変換できる)

もちろんf(x)にはどんな関数を入れてもいい。いくつか考えてみよう。

limx→x2限大に大きくなるxの2乗だから、x2は当然限大に近づいていく。
よってlimx→x2=となる。

limx→(1/x)は分のxが限大に大きくなるのだから1/xは逆にどんどん小さくなっていき、0に近づいていく。
つまりlimx→(1/x)=0となる。

ちょっとひねった形のlimx→{(x+1)/x}ならどうなるだろう?分も分子も限大に大きくなっていくが、どちらも同じペースで増えていくわけだし、xが巨大な数になるのだから分子の「+1」は視してよい。
たとえばxが10000なら(x+1)/x10000+1/10000になるわけで、分子の+1はもはや誤差である。
そんなわけで、(x+1)/xは1に限りなく近づいていく。limx→{(x+1)/x}=1である。

それから、近づける対だって別に限大だけに限らない。

xを0に近づけるのならlimx→0
xを1に近づけるのならlimx→1

関数の頭に付ければいいだけだ。

ここでもう少しだけ正確にいうと、limx→af(x) = bというのは、「aとは異なる値を取りながらxをaに限りなく近づけたとき、その近づけ方がどのようなものであってもf(x)の値がある一定の値bに近づく」ことを表している。

蛇足ながら、もっと正確に言うと「fがAで定義され、a∈(Aの補集合)とする。どんなε > 0に対しても、δ > 0が存在して、|x - a| < δとなる全てのx∈Aに対し、|f(x) - b| < εとなる」ことを表している。

たとえば、limx→0(1/x)を考えてみよう。
がどんどん小さくなって0に近づいていくのだから1/xは逆にどんどん大きく、限大に近づく。
つまりlimx→0(1/x)=となる……わけではない。

xはプラス方向から近づける方法と、マイナス方向から近づける方法の2通りある。この場合、プラスから近づけるとプラス限大に発散するが、マイナス方向から近づけるとマイナス限大に発散する。つまり、極限が異なる。こういう場合は極限なしとなる。

「極限」をざっと説明すると、こんな感じである。
要は「式の中のx(変数)を0とか1とか限大に近づけると、式の値はどうなるのだろう?」というコトを考えるのが「極限」であり、それを数式で書き表すときに使うのが「lim」である。

ね、簡単でしょう?

微分とは?

さて、本題の微分に戻ろう。
先ほど、「間の速さ」をめる話の中で、「第2の点を仮に作り、その仮の点をめたい間に近づける」と書いた。
つまり、「第2の点を作り、それをめたい間に限りなく近づけていく」という作業が必要になる。ここで上で学んだ「極限」が役に立ってくるのだ。

とりあえず、微分の定義を見てみよう。

x関数f(x)で、x内のある点aに限りなく近づける(limb→a)とき、

limb→af(b)-f(a)/b-a

x=aにおける微分係数といい、微分係数を表す関数関数という。
関数めることを関数を)微分する、という。
関数は元の関数f(x)に対してf'(x)と書き表し、「f(x)を微分するとf'(x)になる」とも言う。
(例:関数f(x)=x2の導関数f'(x)f'(x)=2xなので、たとえばx=3における微分係数はf'(3)=2×3=6となる)

何やらいきなり難しそうな表記になったが、怯んではいけない。ここが踏んりどころである。
式だけ見るとワケワカメだが、グラフで考えるといくらかわかりやすい。

式のb-aは2点の差を表し、f(b)-f(a)関数f(x)bを代入した時とaを代入した時の差を表している、ということがわかるだろうか?上で言う「仮に作った第2の点」がbにあたり、「近づけていくめたい間」がaにあたる。
つまり、limを使って「bをaに限りなく近づけている」を表現しているのである。

上の概要で書いた、
間的(limb→a)な変化(f(b)-f(a))の割合(f(b)-f(a)/b-a)をめる操作が微分である
という文章を数式的に書き表していることがわかるだろうか。

もっと使いやすく

でも、式の中に引き算の形が多いと使いにくいし見栄えも悪い。
てなわけで、b-aをΔx、aをxと置き換えて、式を変形させる。

f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)/Δx
ただし、Δx=b-a,x=a


式が理解しやすいように書き換えているだけで、意味するところは上の式と全く同じ。Δxでるたえっくす)がxの増加した分(=bとaの差)を示している。
b-aをΔxと言い換えることで、「分はxの変化量ですよ」ということを強調しているだけである。
ちなみにΔとは、微小な変化量という意味を持つ数学記号である。

実演

概要の例を、上の式を使ってある時点a間の速さめてみよう。
進んだ距離は、時間によって変わる。つまり距離は時間の関数である、と言える。
そこで、時間t関数(=距離f(t)を考えると、ある時点a間の速さf'(a)

   f'(a)=limΔt→0f(a+Δt)-f(a)/Δt

となる。
式内のΔt概要の2点間の時間を、f(a+Δt)-f(a)がその時間に走った距離を示しているのがわかるだろうか?
つまり、この式が

   間aでの速さ=「時間」を0に限りなく近づけたときの、「のり/時間」

の構造になっていることを理解できれば、この一見複雑な式を攻略したも同然である。

いろんな関数の導関数

  1. (xn)'=nxn-1
  2. (sin x)'=cos x
  3. (cos x)'=-sin x
  4. (tan x)'=1/cos2x
  5. (ex)'=ex
  6. (log x)'=1/x
  7. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
  8. (αf(x))'=αf'(x) ※αはxの関数ではない数
  9. (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
  10. (f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))2
  11. (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)
  12. (f-1(x))'=1/f'(f-1(x))

以上が高校で習う範囲。数IIでは1個と7個と8個がわかってればいいけど、数IIIでは全部使うよ。最後のはあんまり使わないけどね。

導関数とグラフ

微分係数f'(x)は、その点におけるグラフの接線の傾きでもある。これがプラスならグラフは増加、マイナスなら減少していることになる。0なら傾きがらであることを意味しているが、グラフが増加から減少に転じる間にあれば極大、減少から増加に転じる間にあれば極小と呼ぶ。極大・極小になってる点がわかればグラフの形が大体把握できるので非常に便利である(例えば、二次関数なら極大・極小になっている点は頂点しかない=極大・極小になっているx座標は頂点のx座標である)。

関数をもう1回微分することで得られる関数を2階導関数というが、これは傾きの変化の様子を表している。これはグラフが上に膨らんでいるか、下に膨らんでいるかを意味し、プラスなら下にマイナスなら上にとなる。増減と凹凸を調べることで、グラフの概形を描くことができる。

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関連項目

掲示板

  • 79ななしのよっしん

    2019/06/15(土) 11:11:12 ID: 2kaO1llgDM

    あーそーゆーことね全に理解した

  • 80ななしのよっしん

    2019/06/15(土) 12:13:51 ID: 7V/rEGqAg5

    微分
    微分
    微分

  • 81ゼノン

    2019/08/26(月) 02:15:05 ID: 59qXUHhn63

    飛んでる矢は止まっている
    前提1 時間は間の積み重ねである
    前提2 どの間に時間を止めたとしても、時間が止まっているのだから矢も止まっている
    前提1と2より、飛んでる矢は有限の時間においても動くことはできない

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