Sardの定理

Sardの定理(Sard's theorem)とは可微分写像の臨界値の測度に関する定理である。

定理の主張

f : M → N  を、m 次元 C^r 級第二可算多様体 M から、n 次元 C^r 級多様体 N への C^r 級写像とする。

このとき、r ≧ max(m-n+1,1)ならば 、f の臨界値の集合 f( C_f ) は測度が 0 である。

解説

この定理の条件 r ≧ max(m-n+1,1) を覚えることにはあまり意味がない。多様体論において扱われるのは多くの場合C^∞級写像だからである。写像がC^∞ 級の場合の証明は[2]に見通しの良い証明が載っている。（ポントリャーギンによる証明らしい）微分可能性が一般の場合の証明はSardの定理の原論文である[3]や、[1]に記述されてており、参考文献[0]には原論文の方針に沿った証明が解説されている。

参考文献[0]は微分可能性の制限も込めた場合のSardの定理の証明が日本語で書かれている唯一の文書だと思われる。

応用上、f( C_f ) の測度は 0 ということよりも、「測度0の集合の補集合は稠密である」ということを用いて、f( C_f ) の補集合、つまり正則値全体が稠密であるということをよく用いる。正則値というイイ感じの点がが稠密になっているというのが、この定理の嬉しいところである。

f : M → N  が十分高い微分可能性をもてば臨界値の集合 f( C_f ) の測度は 0 であるということが定理の要点である。例えば、f が C^∞ 級なら、そうなっている。

参考文献 

[0]S.スターンバーグ著,高橋恒郎訳,微分幾何学,吉岡書店,数学業書,1974(微分可能性の制限も含めた、Sardの定理の証明が載っている)

[1] B.Malgrange, Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics 3, Oxford University Press, 1967

[2] J.Minor,Topology from the differentiable viewpoint,Section3,The University Press of Virginia,1965（邦訳が「ミルナー微分トポロジー講義」として出版されている）

[3] A.Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942, pp883-890

外部リンク

• サードの定理: Wikipedia