4つの4とは (ヨッツノヨンとは) [単語記事]

4つの4（Four fours）とは、4つの4と数学記号を使って、任意の数を作る数学パズルである。

概要

4つの4と、四則演算や数学記号を使い、目的の自然数を作るパズル。使える記号の個数に制限はないが、どの記号を使ってよいものとするかで自由度や難易度が異なる。また、4以外に使っていいのは記号のみで、πやeなどの定数は使わない。

1桁の数はすべて、四則演算と括弧のみ使って求めることができる。

0=4/4-4/4
1=4/4+4-4

2=4/4+4/4
3=(4*4-4)/4

4=4+(4-4)*4
5=(4*4+4)/4

6=4+(4+4)/4
7=4+4-4/4

8=4+4+4-4
9=4+4+4/4

10は、(44-4)/4のように数字を繋げたり、4*4-4!/4のように階乗などの数学記号を使ったりすることで作ることができる。

また、大きな数を作る際は、使える記号の種類を増やしたほうが自由度が上がり解きやすくなる。たとえば、ニコニコ動画やニコニコ大百科でおなじみの数2525は、総和の記号Σを使えば、Σ(4!*4+4)/√4=2525のように比較的容易に作ることができる。総和Σの計算方法については後述。

ルール

一般的に用いられる記号

四則演算（加減乗除）: 4-4*4/4=0のように、+, -, *, /の記号を使える。*は×と同じ乗算の記号、/は÷と同じ除算の記号。
括弧: (4+4-4)/4=1や(4-4/4)!-4=2のように、計算の優先順位を変える場合に使う。
小数点: 小数点を使って4.4のように表記できる。.4は、0.4を表す（0は省略される）。例：4/.4=4/0.4=10
循環小数: .4と表記し、その4の上に点を打つことで、循環小数0.444...を表す。この場合は4/9に等しい。循環節の表記法は、点を打つ以外に、循環節に下線を引く、循環節を括弧で挟むなど。例：4.4=4.(4)=4.444..., 4/.4=9
累乗（べき乗）: a^b：aをb回掛けた数。小さい上付き文字が使えない環境では、^を用いてa^b、または↑を用いてa↑bのように表記する。例：4⁴=4^4=4↑4=256
階乗: n!：1からnまでのすべての自然数の積。例：4!=1*2*3*4=24
平方根: √n：平方（2乗）するとnになる数。例：√4=2, √√√4^4!=4³=64

このほか、4同士を繋げて44や444として扱ってもよい。

用いられることがある記号

二重階乗: n!!：nが奇数なら、1からnまでのすべての奇数の積。nが偶数なら、2からnまでのすべての偶数の積。例：4!!=2*4=8, (4/.4)!!=9!!=1*3*5*7*9=945
総和: Σn：1からnまでのすべての自然数の和。省略された形で書かれる。n?と書かれることもある。急激に増加する階乗と異なり、緩やかに増えるため、ほどよく大きな数を作る際に重宝される。Σn=1+2+...+n、すなわち、Σn=n(n+1)/2である。例：Σ4=1+2+3+4=10, ΣΣΣ4=ΣΣ10=Σ55=1540
百分率（パーセント）: n%：n/100を意味する。例：4%=0.04, 4/4%=100
剰余（余り）: a%b：aをbで割ったときの余り。例：Σ4%4=10%4=2
ガウス記号（床関数）: [n]：n以下の最大の整数。小数点以下を切り捨てることと同じ。例：[√√4]=[1.414...]=1, [-√√4]=[-1.414...]=-2
ガンマ関数: Γ(n)：(n-1)!を意味する。例：Γ(4)=3!=6, Γ(Γ(4))=Γ(6)=5!=120

上記以外に、多重階乗、超階乗、累乗根（n乗根）なども用いられることがある。対数と平方根を制限なく用いれば、たとえば、n=-log₄(log₄√√√…√4)^√4ですべての自然数が表せる（√√√…√の部分に√がn個続く）。そのため、log（ln）は基本的に使われない。

解法

4つの4の解法を、分かりやすく丁寧に解説している動画（4つの4で1～100を作ろう）が投稿されているため、紹介する。

この動画では、一般的に用いられる記号のみ使用し、解法とともに1から100まで求めている。

循環小数や階乗などの説明、基本的な考え方のほか、3乗の作り方、分母を揃えて4の数を減らすテクニックについて解説があるため、視聴をお勧めする。

いきなり4つの4から目的の数を作り出すのは難しい。まずは、1つの4、2つの4、3つの4で作ることのできる数を考え、それらを組み合わせるとよい。大きな数なら、その約数、近い合成数などから解決の糸口が見つかることがある。

ここでは例として、2017年にちなみ、4つの4で2017を作ってみた。先に述べておくと、一般的に用いられる記号だけでは作ることができない。よって、総和Σも使用して解いた。Σnは、1からnまでのすべての自然数の和、Σn=1+2+...+nである。

解く前に、1つの4、2つの4で作成できる数をある程度ピックアップした。下の「参考」の節にまとめているので参照。

はじめに、2017の約数を考えた。2017は素数であり、約数は1と2017のみ。よって、適当な約数同士の掛け算によって求めることはできない。次に、2017に近い合成数を考えた。たとえば、2016は合成数であり、もし2016を2つの4で作成できたなら、2016+4/4とすることで2017が作り出せる。

そこで、2016を2つの4で作り出せるか考えた。素因数分解すると2⁵*3²*7であり、21*96、24*84のような2数の積として表せる。21や24は1つの4で作ることができるものの、もう一方の数が難しい。そこで、視点を変えて、Σn=2016となるような数を考えた。Σn=n(n+1)/2として表すことができ、解くとΣ63=2016となる。つまり、2つの4で63を作成できれば、2016も作成できる。63は、7*9、3*21、8+55などで求められる。このうち、3と21のペアは、Σを使えばどちらも1つの4で作成できる。Σ(√4)=Σ2=3、ΣΣΣ(√4)=ΣΣ3=Σ6=21。

以上をまとめると、Σ(Σ(√4)*ΣΣΣ(√4))+4/4=2017となり、2017を作ることができた。なお、1を作るのに2つの4を使い4/4としたため、これを4/√4に変えると2018となる。同様に、√4/√.4、√4*√4、√4/.4、4!/4、Σ(√4)+4…と変えれば、2019以降も作成可能。もちろん、引き算にすれば2015以前も作成可能である。0を作れば2016となるが、2016はΣを使わずに作成できるので、ぜひ挑戦してみてはいかがだろうか。答えは下の「備考」の節に掲載している。

参考

1つの4と2つの4で表せる自然数のうち、3桁以内のものをいくつか掲載する。組み合わせればある程度の自然数は容易に作ることができる。

「一般」には、一般的な記号で作ることのできる数を掲載している。
「総和」「ガンマ関数」「二重階乗」について、一般的な記号だけで作ることのできる数は除外してある。

1つの4

一般

2=√4
4
24=4!

総和

3=Σ(√4)
6=ΣΣ(√4)
10=Σ4
21=ΣΣΣ(√4)

55=ΣΣ4
231=ΣΣΣΣ(√4)
300=Σ(4!)
720=(ΣΣ(√4))!

ガンマ関数

1=Γ(√4)
6=Γ(4)
120=Γ(Γ(4))
720=(Γ(4))!

二重階乗

8=4!!
384=(4!!)!!

2つの4

一般

0=4-4
1=4/4
2=4/√4
3=√4/√.4
4=√4*√4
5=√4/.4
6=4!/4
8=4+4
9=4/.4
10=4/.4
12=4!/√4
16=4*4
20=4!-4
22=4!-√4
24=(√4*√4)!
26=4!+√4
28=4!+4
44
48=4!*√4
54=4!/.4
60=4!/.4
64=√√√4^4!
96=4!*4
120=(√4/.4)!
256=4⁴
576=4!*4!
720=(4!/4)!

総和

7=Σ(√4)+4
11=ΣΣΣ(√4)-Σ4
13=Σ4+Σ(√4)
14=Σ4+4
15=Σ(Σ4/√4)
17=ΣΣΣ(√4)-4
18=√(4!+Σ(4!))
19=ΣΣΣ(√4)-√4
21=Σ(4!/4)
23=ΣΣΣ(√4)+√4
25=Σ4/.4
27=Σ(√4)+4!
30=Σ(4!)/Σ4
31=ΣΣ4-4!
32=√(√4^Σ4)
34=Σ4+4!
36=Σ(4+4)
40=Σ4*4
42=ΣΣΣ(√4)*√4
45=ΣΣ4-Σ4
49=ΣΣ4-ΣΣ(√4)
50=Σ(4!)/ΣΣ(√4)
51=ΣΣ4-4
52=ΣΣ4-Σ(√4)
53=ΣΣ4-√4
55=Σ(4/.4)
57=ΣΣ4+√4

58=ΣΣ4+Σ(√4)
59=ΣΣ4+4
61=ΣΣ4+ΣΣ(√4)
63=ΣΣΣ(√4)*Σ(√4)
65=ΣΣ4+Σ4
66=Σ(ΣΣΣ(√4)-Σ4)
69=Σ(4!)-ΣΣΣΣ(√4)
72=Σ(√4)*4!
75=Σ(4!)/4
76=ΣΣΣ(√4)+ΣΣ4
77=ΣΣΣΣ(√4)/Σ(√4)
78=Σ(4!/√4)
79=ΣΣ4*4!
81=(Σ(√4))⁴
84=ΣΣΣ(√4)*4
91=Σ(Σ4+Σ(√4))
100=√(Σ4)⁴
105=Σ(Σ4+4)
110=ΣΣ4*√4
116=ΣΣΣΣΣ(√4)/ΣΣΣΣ(√4)
126=ΣΣΣ(√4)*ΣΣ(√4)
136=Σ(4*4)
144=ΣΣ(√4)*4!
150=Σ(4!)/√4
以下省略。

備考

Four foursは、1881年に科学雑誌『ノレッジ』に掲載されたものであるが、1000までの自然数のうち、113、157、878、881、893、917、943、946、947の9つの自然数について、解は示されなかった。

これらは、たとえば総和Σの使用を認めると、Σ(Σ4+4)+4+4=113、Σ(4!-√4)-4*4!=157のようにして作ることができる。

なお、小数と循環小数を利用し、4!/.√4+√4/.4=113とした例がある（下線は循環節）。すなわち、.√4と表記することで循環小数0.222...=2/9を作り出している。ただし、小数点以下、循環節が純粋な数でないので、数学的には認められないと思われるものの、パズルとしては面白い発想だと言える。この方法を適用すれば、157なども作ることが可能。

そのほか、面白い式をいくつか掲載する。原則、一般的な記号のみ使用して作られたものを扱う。