シューアの不等式

シューアの不等式とは、数学者イサイ・シューアにちなんで名付けられた三変数の絶対不等式のことである。

呼び方

英語では Schur's inequality となるが、この "Schur" の読み方は "シューア" や "シュール" や "シュアー" など、いろいろあるようである。ヘブライ語では "シュール" であるが英語では "シューア" である。この記事では "シューア" と呼ぶことにする。

概要

非負実数 x,y,z と任意の実数 t>0 ( t≦0 のときは xyz≠0 ) について次の不等式が成り立つ。

f_t(x,y,z) = x^t(x-y)(x-z) + y^t(y-z)(y-x) + z^t(z-x)(z-y) ≧ 0

等号成立条件は x=y=z または x,y,z のうち１つが 0 で残り二つが等しいときである。この不等式をシューアの不等式という。

証明

いくつか証明を紹介しよう。

証明１

まずは t が一般の実数の場合を示す。x,y,z についての対称式であるから x≧y≧z としてよい。このとき

f_t(x,y,z) = (x-y)( x^t(x-z) - y^t(y-z) ) + z^t(x-z)(y-z)　　...(1)

= x^t(x-y)(x-z) + (y-z)( z^t(x-z) - y^t(x-y) )　　...(2)

ここで仮定した x,y,z の大小関係より、t ≧ 0 なら (1) の右辺は明らかに正、t < 0 なら (2) の右辺は正である。よって示された。◻︎

証明２

マニアのために t=0,1,2,3 について、対称性を崩さない証明を紹介しよう。次の恒等式が成立する。(本当に成り立つのか疑り深い人は実際に右辺と左辺を手(wolframとか)で展開してみるとよい。

f₀(x,y,z) = 1/2*((x-y)² + (y-z)² + (z-x)²)

f₁(x,y,z) = yz(y+z)(y-z)²/((x+y)(x+z)) + zx(z+x)(z-x)²/((y+z)(y+x)) + xy(x+y)(x-y)²/((z+x)(z+y))

f₂(x,y,z) = 1/2*( (y+z-x)²(y-z)² + (z+x-y)²(z-x)² + (x+y-z)²(x-y)² )

f₃(x,y,z) = (x²+y²+z²)f₁(x,y,z) + 2xyz*f₀(x,y,z)

右辺は明らかに正である。よって示された。◻︎

この証明から、t=0,2 では x,y,z が任意の実数で成立することがわかる ( 逆に任意の実数 x₁,...,x_n に対して f(x₁,...,x_n) ≧ 0 となる有理式 f は必ず有理式の平方の和で表せることが知られている。→ヒルベルトの第17問題 ) 。

証明３

実はコーシーシュワルツの不等式を用いても示すことができる。次の補題を用いる。;

　補題 a,b,c,p,q,r ≧ 0 , a+c ≦ b , √p+√r ≧ √q のとき pbc+rab ≧ qca

証明はコーシーシュワルツの不等式による。

　pbc+rab = b(pc+ra) ≧ (a+c)(pc+ra) ≧ (√(apc) + √ (cra))² = (√p+√r)²ca ≧ qca　◻︎

本題に入る。f_t は x,y,z について対称なので x≧y≧z (≧0) としてよい。a=y-z≧0,b=x-z≧0,c=x-y≧0,p=x^t,q=y^t,r=z^t とおくと

　f_t(x,y,z) ≧0　⇔　x^t(x-y)(x-z)+ z^t(x-z)(y-z) ≧ y^t(y-z)(x-y)　⇔　pbc+rab ≧ qca

x≧y≧z より a+c ≦ b , √p+√r ≧ √q なので補題よりこれは成立する。◻︎

拡張１ ( Vornicu-Schur Inequality )

証明１より、シューアの不等式は次のように拡張できることがわかる。;

a,b,c ≧ 0 であり、x,y,z と a,b,c の順序関係が同順または逆順 ( つまり a,b,c がこの順で大きくなるときは x,y,z はこの順で大きくなるか小さくなる ) であるとき、

a(x-y)(x-z) + b(y-z)(y-x) + c(z-x)(z-y) ≧ 0

a=x^t,b=y^t,c=z^t と置いてみると、これがシューアの不等式の拡張になっていることがわかる。

このような拡張はたくさん知られている。ここでは

f(a,b,c:x,y,z) = a(x-y)(x-z) + b(y-z)(y-x) + c(z-x)(z-y) …[1]

の形の式がどの場合に ≧ 0 であるか調べよう。次の定理が知られている。

(A) x≧y≧z かつ a,b,c≧0 かつ a+c≧b のとき f ≧ 0

(B) x≧y≧z≧0 かつ ax,by,cz≧0 かつ ax+cz≧by のとき f ≧ 0

(C) a,b,c の平方根が三角形の三辺を成す数であるとき f ≧ 0

(D) x,y,z≧0 かつ ax,by,cz の平方根が三角形の三辺を成す数であるとき f ≧ 0

(E) x≧y≧z≧0 で、ある凸関数 k:R⁺→R⁺ が存在し、a=k(x),b=k(y),c=k(z) となるとき f ≧ 0

ただし(E)において R⁺ は非負実数全体を意味する。これら一連の"シューア型"不等式を Vornicu-Schur Inequality と言ったりするようである。名前の由来となった Valentin Vornicu はルーマニアの数学者である。

Vornicu-Schur Inequality の証明

まず (A) を示そう。x≧y≧z より x-z≧y-z≧0 なので

a(x-y)(x-z) ≧ a(x-y)(y-z) , c(z-x)(z-y) ≧ c(x-y)(y-z) となり、

f(a,b,c:x,y,z) ≧ (a+c-b)(x-y)(y-z) ≧ 0

となる。よって(A)が示された。

(B)を示す。[1]の式に xyz ≧ 0 をかけると

xyz*f(a,b,c:x,y,z) = ax(xz-yz)(xy-yz) + by(xy-zx)(yz-zx) + cz(yz-xy)(zx-xy) = f(ax,by,cz:yz,zx,xy)

x≧y≧z のとき yz≦zx≦xy であるから (A) より f(ax,by,cz:yz,zx,xy) ≧ 0 がわかる。よって示された。□

(C) を示そう。f は次のように変形できる。

f(a,b,c:x,y,z) = a(x-y)(x-y+y-z) + b(y-z)(y-x) + c(z-y+y-x)(z-y)

= a(x-y)² + (a-b+c)(x-y)(y-z) + c(y-z)²

これを (x-y) と (y-z) の二次形式と見てみよう。すると任意の実数 x,y,z で非負であるためには

a,c ≧ 0 , 判別式 D = (a-b+c)² - 4ac ≦ 0

が必要十分であるとわかる。判別式を整理すると、

(a-b+c)² - 4ac = a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca

となることがわかる。よって

D = (a-b+c)² - 4ac ≦ 0 ⇔ a²+b²+c² ≦ 2ab+2bc+2ca

となる。また、D ≦ 0 から

2b(a+c) ≧ (a-c)²+b² ≧ 0

がわかるので、a,c ≧ 0 より b ≧ 0 もわかる。いま、a,b,c ≧ 0 が得られたので √a=A,√b=B,√c=C と置こう。すると

D ≦ 0 ⇔ (c-a-b)^2 ≦ 4ab ⇔ |c-a-b| ≦ 2√(ab) = 2AB

c-a-b ≧ 0 のときは c-a-b ≦ 2AB ⇔ C² ≦ (A+B)² ⇔ C ≦ A+B

c-a-b ≦ 0 のときは a+b-c ≦ 2AB ⇔ (A-B)² ≦ C² ⇔ |A-B| ≦ C

従って D ≦ 0 ⇔ |A-B| ≦ C ≦ A+B がわかる。これは A,B,C が三角形の三辺を成すということである！WoW!! なんか数学の神秘を垣間見た気がするね!! これで (C) が示された。□

(D) は (B) の証明と同様である。xyzをかければ良い。

(E) を示そう。次の恒等式が成立する。；y = ((y-z)x+(x-y)z)/(x-z)

x-z ≧ x-y,y-z なので、k の凸性より、

k(y) = k(((y-z)x+(x-y)z)/(x-z)) ≦ ((y-z)*k(x)+(x-y)*k(z))/(x-z) ≦ k(x)+k(z)

となる。よって(A)より(E)が従う。□

拡張２

(x-y)(x-z)の方を変化させる型もある。次の定理が知られている。

区間 J ⊂ R と単調増加な奇関数 p:J→R がある( p(t) ≦ 0 ⇔ t ∈ J かつ t ≦ 0 , p(t) ≧ 0 ⇔ t ∈ J かつ t ≧ 0 となる)。

a,b,c ∈ R , x,y,z ∈ R⁺ であり、a-b,a-c,b-c,b-a,c-a,c-b ∈ J であるとき、

(A) a≧b≧c かつ x+z≧y のとき

(B) x,y,zが三角形の三辺のとき

(C) ある凸関数 k:R⁺→R⁺ が存在し、x=k(a),y=k(b),z=k(c) となるとき

x*p(a-b)*p(a-c) + y*p(b-c)*p(b-a) + z*p(c-a)*p(c-b) ≧ 0

が成り立つ。証明は拡張1とほぼ同じようにできる。

拡張３( n 変数 )

3 次のシューアの不等式は n 変数への拡張が知られている。 3 次以外のシューアの不等式を n 変数へ拡張するとどうなるのかはまだよくわかってないらしい。これらの不等式は凸関数との関連が強く、凸関数に関して成り立つ不等式の応用として示されるが、単純に帰納法によって示すこともできる。

拡張3.1 (Vasile Cirtoaje)

Vasile Cirtoaje による次の拡張がある。

　n(≧3) 個の非負実数 x₁,...,x_n に対し次が成り立つ。

　(1)　Σ_i=1ⁿx_i³ + 3*Σ_i<j<kx_ix_jx_k ≧ Σ_i<jx_ix_j(x_i+x_j)

　(2)　(1/n)*Σ_i=1ⁿx_i³ + (6/(n(n-1)(n-2)))*Σ_i<j<kx_ix_jx_k ≧ (2/(n(n-1)))*Σ_i<jx_ix_j(x_i+x_j)

これらは n=3 とすればシューアの不等式となる。

証明は前述のように凸関数に関する不等式を用いて示されるが、そんな大げさな道具立てをしなくても(本来の3次の)シューアの不等式を用いても示せる。

証明をしよう。まず(1)から。両辺とも x₁,...,x_n の対称式であるから x₁≧...≧x_n としてよい。このとき (i,j)≠(1,2),(2,3),(3,1) に対し

　x_ix_j(x_i+x_j) ≦ 2x₁x_ix_j

となる。また、シューアの不等式より

　x₁³+x₂³+x₃³+3x₁x₂x₃ ≧ x₁x₂(x₁+x₂) + x₂x₃(x₂+x₃) + x₃x₁(x₃+x₁)

が成り立つので、

　Σ_i=1ⁿx_i³ + 3*Σ_i<j<kx_ix_jx_k

　≧ x₁³+x₂³+x₃³+3x₁x₂x₃ + 2Σ_{1<i<j,(i,j)≠(2,3)}x₁x_ix_j

　≧ x₁x₂(x₁+x₂) + x₂x₃(x₂+x₃) + x₃x₁(x₃+x₁) + Σ_{i<j,(i,j)≠(1,2),(2,3),(3,1)}x_ix_j(x_i+x_j)

　= Σ_i<jx_ix_j(x_i+x_j)

よって示された。等号成立は x₁,...,x_n のうち 3 つ以下が等しく、残りが 0 のとき。

(2) はシューアの不等式より

　x_i³+x_j³+x_k³+3x_ix_jx_k ≧ x_ix_j(x_i+x_j)+x_jx_k(x_j+x_k)+x_kx_i(x_k+x_i)

となるので、これをすべての(i,j,k)について足し合わせれば

　Σ_i<j<k(x_i³+x_j³+x_k³) + 3Σ_i<j<kx_ix_jx_k ≧ Σ_i<j<k(x_ix_j(x_i+x_j)+x_jx_k(x_j+x_k)+x_kx_i(x_k+x_i))

が得られるが、ここで

　Σ_i<j<k(x_i³+x_j³+x_k³)　= _n-1C₂*Σ_i=1ⁿx_i³

　Σ_i<j<k(x_ix_j(x_i+x_j)+x_jx_k(x_j+x_k)+x_kx_i(x_k+x_i)) = (n-2)*Σ_i<jx_ix_j(x_i+x_j)

に注意すると

　_n-1C₂*Σ_i=1ⁿx_i³ + 3Σ_i<j<kx_ix_jx_k ≧ (n-2)*Σ_i<jx_ix_j(x_i+x_j)

が得られ、この両辺を n_n-1C₂ で割ると定理を得る。◻︎

拡張3.2 (Janos Suranyi)

Janos Suranyi による拡張も知られている。Suranyi's Inequality と言われることがある。

　n 個の非負実数 x₁,...,x_n に対し次が成り立つ。

　(n-1)*(x₁ⁿ+x₂ⁿ+...+x_nⁿ) + n*x₁x₂...x_n ≧ (x₁+x₂+...+x_n)(x₁^n-1+x₂^n-1+...+x_n^n-1)

n=3 とすればシューアの不等式が得られる。

帰納法により示される。証明をしよう。n=1,2,3 では明らかに成立する。ある n で成り立つとして n+1 で成立することを示す。

両辺ともに対称式なので x₁≧x₂≧...≧x_n+1 としてよい。S_k = x₁^k+x₂^k+...+x_n^k , S=S₁ , T=x₁x₂...x_n と置く。このとき x_n+1 ≦ S/n となる。

まず、帰納法の仮定より

　(n-1)*x_n+1S_n + n*x_n+1T ≧ x_n+1*S*S_n-1　　...[1]

が成り立つ。

正の数 a₁,...,a_m に対し Π_i=1^m(1+a_i) ≧ 1+Σ_i=1^ma_i が成り立つ(帰納法により容易に示される)ので、

ここで a_i=(x_i-x_n+1)/x_n+1≧ 0 とすれば

　T = Π_i=1^mx_i = x_n+1ⁿ Π_i=1^m(1+(x_i-x_n+1)/x_n+1)

　≧ x_n+1ⁿ (1+Σ_i=1^m(x_i-x_n+1)/x_n+1) ) = (1-n)*x_n+1ⁿ + x_n+1^n-1 S

となるので

　x_n+1T + n*x_n+1ⁿ⁺¹ ≧ x_n+1ⁿ⁺¹ + x_n+1ⁿ S　　　...[2]

を得る。

さて、示すべきことは

　n*(S_n+1+x_n+1ⁿ⁺¹) + (n+1)*x_n+1T ≧ (S+x_n+1)(S_n+x_n+1ⁿ)

なので、整理すると

　{ (n-1)*x_n+1S_n + n*x_n+1T -x_n+1*S*S_n-1 }

　 + { x_n+1T + n*x_n+1ⁿ⁺¹ - ( x_n+1ⁿ⁺¹ + x_n+1ⁿ S) }

　 + { n*S_n+1 - S*S_n - n*x_n+1*S_n + x_n+1*S*S_n-1 }

　≧ 0

を示せば良い。

[1],[2] より1,2個目の中かっこの中は正。よって

　n*S_n+1 - S*S_n - n*x_n+1*S_n + x_n+1*S*S_n-1 ≧ 0

を示せば良い。整理して、

　n*S_n+1 - S*S_n ≧ x_n+1(n*S_n - S*S_n-1)

となるが、左辺はチェビシェフの不等式より n*S_n - S*S_n-1 ≧ 0 なので正。よって x_n+1 ≦ S/n より

　n*S_n+1 - S*S_n ≧ (S/n)(n*S_n - S*S_n-1)

を示せば良い。整理して

　n*S_n+1 - 2*S*S_n + S²S_n-1/n ≧ 0

を示せばよいがこれは

　n*x_iⁿ⁺¹ - 2S*x_iⁿ + S²x_i^n-1/n = (n*x_i-S)²x_i^n-1/n ≧ 0

を i=1,...,n で足し合わせればわかるので、以上より定理が従う。◻︎

ちなみにSuranyi's Inequalityはさらに次のように拡張される。:

　　区間I⊂R上定義された関数fについて、f,f'が凸関数であるとき

　　a_i∈Iに対し (n-1)Σ_i=1ⁿ f(a_i) + nf(1/n*Σ_i=1ⁿa_i) ≧ Σ_i,j=1ⁿ f( ((n-1)a_i+a_j)/n )

f(x)=e^xなどとすればSuranyi's Inequalityとなる。証明はKaramataの不等式などをうまく使うことでなされる。詳しくは→About Sur´anyi’s Inequality

外部リンク(集)

• シュールの不等式 - Wikipedia
• Schur's inequality - Wikipedia
• Schur's Inequality - Proof Wiki
• Schur's Inequality - AoPSWiki - Art of Probrem Solving
• Vornicu-Schur Inequality - AoPSWiki - Art of Probrem Solving
• The Vornicu-Schur inequality and its variations - 拡張について詳しい。
• On Schur inequality and Schur functions

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関連項目

• 不等式
• コーシー・シュワルツの不等式
• 凸関数