ボックス(公営競技)

ボックスとは、公営競技における投票券の買い方である。

概要

3 連 複	1	3	4
	5	10	12
	15	16	18

連勝式の投票券で、「1,2,3,5,6,8番のどれか2人(頭)は2着以内に入るだろう」などと予想し、その全パターンを買おうとする場合、そのすべてをマークシートに書くのは手間であるし、抜かしたり重複したりすることも考えられる。

そこで、多くの販売機には「このm人(頭)のグループのうちn人(頭)を選ぶパターンすべて」の投票券をまとめ買いする機能が搭載されており、このような買い方を「ボックス」という。

ボックス買いでは、n連勝式の場合、マークした番号の中からn人(頭)選ぶパターンすべてを購入したことになる。当然、賭け金は組み合わせ数の分払うことになる。

例えば、3連複の投票券を上記のようにボックス買いした場合、[1-3-4][4-1-3][5-12-16]など、印刷されている番号がどこかにすべて含まれていれば的中である。[1-13-10]など、含まれていない番号があった場合ははずれである。

なお、枠番連勝式の場合、ゾロ目がありえるが、ボックス買いにゾロ目が含まれるかどうかは競技や主催者による。多くの場合は含まれないので、ゾロ目の分は別に買う必要がある。詳しくは各主催者の公式サイトを参照のこと。

特徴

ながし・フォーメーションにつきものの「縦目(同じグループに入れた2人(頭)が当たってしまうこと)」がないのが最大の特徴である。投票券に印刷された数字がすべて含まれていればとにかく的中であり、たいへんわかりやすい。

計算方法も非常に簡単である。高校数学の知識は必要とするが、数学IAでやる「順列・組み合わせ」の最初の方さえ覚えていれば簡単に手計算できる。重複を除外する必要もない。

一方、すべてのパターンを網羅するため、買い目を増やすと組み合わせ数が膨大になってしまうのがデメリットである。詳しくは下記「計算方法」を参照されたいが、ボックス買いでは組み合わせ数の増え方が「階乗」オーダーとなる。これはねずみ算で有名な指数関数的増加よりももっと急激に増えるもので、買い目を多めにしたらとんでもない組み合わせ数になって慌てることになる。冒頭のように、9頭ボックス買いなどはよほどのお金持ちでない限りおすすめしない(組み合わせ数84なので、各100円でも8400円も払う羽目になる)。

また、当たったことは当たったが人気ばかりの組み合わせで、オッズがべらぼうに安かったというのもよくあるパターンである。買い目が多くなりがちということも併せて、トリガミ(赤字)になりやすい買い方でもある。ダントツ人気がいる場合は、フォーメーションや流しなどで買い目を絞ることも考えよう。

逆に、ダントツの人気がおらず、人気上位でもオッズが高めという場合はチャンスかもしれない。
2連複・3連複の5点ボックス買いが10通りであり、このあたりに絞ることを心がけたい。

計算方法

ここで、ボックスの計算方法を記述する。

上述のとおり、通り高校数学の知識が必要となる。

• _mP_n…順列。m個の中からn個選んで並べる場合の数。
• _mC_n…組み合わせ。m個の中からn個選ぶ組み合わせ。順番違いは同じとみなす。
• n!…階乗。1からnまでのすべての整数を掛けた数。例えば、5!=5×4×3×2×1である。

n連単

上位n人(頭)を、着順通り当てる式別。

すなわち、n連単のm点ボックスの組み合わせ数は、m人(頭)の中からn人(頭)選んで並べる順列に等しいので、計算式は_mP_nとなる。

例1:3連単10点ボックス

上述の通り₁₀P₃で求められる。

数学の教科書には_mP_n=m!/(m-n)!などという公式が載っているが、これはmとかnとかを使うとこういう表記になるというだけで、実際に10!/(10-3)!を計算していたら日が暮れてしまう。具体的な数を計算する際には、小学生にもわかるやり方がある。

10点のうち、1着になるパターンは10通り。2着になるパターンは1着に選んだものを除くので9通り、同様に3着は8通りである。つまり組み合わせ数は10×9×8=720通りである。

公営競技の連勝単式は、2024年現在2連単と3連単しかないので、m点ボックスの組み合わせ数は以下の通りになる。

• 2連単…m×(m-1)
• 3連単…m×(m-1)×(m-2)

以下同様なので、今後8連単が登場した場合、組み合わせ数はm×(m-1)×…(m-7)となる。

n連複

上位n人(頭)を、順番違いを考慮せず当てる式別。

すなわち、m点ボックスの組み合わせ数は、m人(頭)の中からn人(頭)選ぶ組み合わせにほかならないので、計算式は_mC_nとなる。

例1:3連複10点ボックス

こちらも₁₀C₃で求められる。

これまた高校の教科書には_mC_n=m!/(m-n)!n!などというけったいな公式が載っているが、実際に計算できる人でもこの公式を覚えている人はそんなにいないので安心していい。

上述の「n連単」の計算方法さえ覚えていれば、そこからの発展で理解できる。

上述の通り、3連単m点ボックスの組み合わせ数はｍ×(m-1)×(m-2)である。
今回は順番違いを除外するので、3つの数を並べる場合の順番違いが何通りあるのかを考える。

これは、3つの数から3つ選んで並べる順列…3連単の3点ボックス買いに相当する。
すなわち、3×2×1＝6通りである。

したがって、求める式は(10×9×8)/(3×2×1)=120通りである。掛け算は計算せずにそのままにした方が、約分ができるので楽である。また、上も下も数字が3つになるので覚えやすい。

公営競技の連勝複式は、2024年現在2連複と3連複しかないので、計算式は以下のようになる。

• 2連複…[m×(m-1)]/[2×1]
• 3連複…[m×(m-1)×(m-2)]/[3×2×1]

やはり、8連複とか出てきたときは上記式を駆使して各自計算されたい。

例2:2連複5点ボックスと3連複5点ボックス

さて、ここで5点ボックスについて考えてみよう。

2連複の場合は₅C₂、3連複は₅C₃である。計算すると…

• ₅C₂=(5×4)/(2×1)=10
• ₅C₃=(5×4×3)/(3×2×1)=10

あれ？ 式別が違うのに組み合わせ数が同じになったよ？

これは偶然ではなく、2+3が5であることが原因である。

以下の公式がある。

_mC_n=_mC_(m-n)

したがって、例えば、3連複10点ボックス買いの組み合わせ数と、(そんなものはないが)7連複10点ボックス買いの組み合わせ数は同じになる。

一見奇妙に思えるが、「5つの中から2つ選ぶ」ということは、「5つの中から『選ばないもの』を3つ選ぶ」ことと同じだと考えればわかりやすい。このことは、高校数学で「二項定理」というものを学ぶときに重要になってくるが、公営競技をする上では「ボックス買いは5点が境目」ということだけ把握すればよい。

5点を上回る場合、3連複の方が組み合わせ数は多くなり、下回る場合、3連複の方が少なくなる。例えば、買い目を4点まで絞れたならば、3連複の方が買い目が少なくなってちょっとお得である(その分当たりにくくなってしまうが…)。

拡連複

2連複と拡大2連複(ワイド)は、「2人(頭)選ぶ」ということは全く同じなので、計算式も同じである。両者は組み合わせ数は変わらない。異なるのは的中数である(ワイドは₃C₂=3通り的中する)。

関連動画

関連静画

関連リンク

• マークカード点数早見表 ボックス・ながしの組み合わせ数一覧

関連項目

• 公営競技
  • 競馬/競輪/ボートレース/オートレース
• 投票券(公営競技)
  • フォーメーション(公営競技)
  • ながし(公営競技)
• 組み合わせ論
  • 順列
  • 組み合わせ(組み合わせ論)