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単語記事: 黄金比

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黄金比とは、幾何学において1:1.618…として表される比である。人間にとって最も美しい比率と称される事が多い。

概要

まず、長方形を1つ考える。そこから、短いほうの辺の長さを1辺とする正方形を切り取る。すると、小さい長方形ができる。この長方形が、元の長方形と相似であるようにしたときの、辺の比を黄金比という。

長方形を使わずに、線分で考えることもできる。ある線分を、長さの異なる2つの線分に分割する。そのとき、長さの比が(長いほう):(元の線分)=(短いほう):(長いほう)となるようにしたときの、線分の長さの比を黄金比という。

もっと具体的にいうと、1:(1+√5)/2である。記号では主にφを用い、1:φと書く。このφはオイラーの等式には出てこないが、れっきとした重要な数学定数のひとつである。

この比は自然界でたびたび出現するだけあって美しい比と言われている。人工物でも芸術作品や建造物に多く使われている。2辺の比が黄金比であるような長方形は黄金長方形とも呼ばれ、名刺にも使われている。ちなみに印刷紙は機能面を重視するため、辺の比は1:√2である。

作図法黄金長方形の作図法の説明です。

黄金長方形のよく知られた作図法を紹介する。

  1. 正方形ABCDを作図する。
  2. 辺BCの中点Mをとる。
  3. Mを中心とした、半径MDの円を描く。
  4. 辺BCをCのほうに延長し、3.で描いた円との交点をPとする。
  5. Pを通り、辺BCに垂直な直線を描く。
  6. 5.で描いた直線と、辺ADの延長線との交点をQとする。
  7. 長方形ABPQが、黄金長方形である。

証明

証明のために2点を加えた図です。

上記の通り作図したとき、長方形ABPQが黄金長方形であることを示す。

辺BCをBのほうに延長し、3.で描いた円との交点をP'とする。

P'を通り、辺BCに垂直な直線を描く。それと辺ADの延長線との交点をQ'とする。

線分PP'は円の直径なので、三角形PAP'は、角Aが直角となる直角三角形である。
ABとPP'は垂直なので、三角形P'BAと三角形ABPは相似。
よって、長方形P'BAQ'と長方形ABPQも相似。・・・(1)

Mは円の中心なので、線分PP'の中点である。Mのとり方より、辺BCの中点でもある。
よって、線分P'Bと線分CPは、長さが等しい。
線分ABと線分DCも長さが等しいので、長方形P'BAQ'と長方形CPQDは合同。・・・(2)

(1),(2)より、長方形CPQDと長方形ABPQは相似。
したがって、長方形ABPQは黄金長方形である。

別証

辺ABの長さをaとする。
Mは辺BCの中点なので、線分BM,線分MCの長さはいずれもa/2である。
辺CDの長さはaなので、ピタゴラスの定理より、線分MDの長さは√5a/2。
よって、線分MPの長さも、√5a/2。
よって、線分BPの長さは、a/2+√5a/2 = a・(1+√5)/2 = φa
したがって、辺ABと線分BPの長さの比は、1:φである。
ゆえに、長方形ABPQは黄金長方形である。

この証明は前述の証明より短いが、黄金比の具体的な値を2次方程式により求めなければならず、純粋に幾何的な証明ではない。

ニコニコ動画に関連する黄金比

  1. ニコニコ動画において、再生数、コメント数、マイリスト数の状態。→黄金比(ニコニコ動画)
  2. ツンデレにおいて、ツンとデレの理想的な比率。→ツンデレ黄金比=9:1
  3. VOCALOID作品において、ネタとガチの要素を併せ持つ楽曲。→黄金のガチネタ比
  4. コスプレにおいて、ミニスカート、露出した太腿、ニーソックスの理想的な比率。→絶対領域

関連動画

関連項目

携帯版URL:
http://dic.nicomoba.jp/k/a/%E9%BB%84%E9%87%91%E6%AF%94
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読み：オウゴンヒ
初版作成日: 10/11/25 20:08 ◆ 最終更新日: 11/07/10 04:23
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黄金比について語るスレ

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14 ： ななしのよっしん ：2011/07/11(月) 12:49:53 ID: Xaws0bSTZS
>>12
ってよく言われるけど、日本人とかに適用するとバタ臭くなりすぎる気がする
白人（たぶん黒人にも？）に適用する限りにおいては間違いないだろうが
15 ： ななしのよっしん ：2011/07/11(月) 13:03:30 ID: SeAgOx6MIf
日本人的な、もしくはロリ、子供っぽい「可愛い」って感覚で言うなら、黄金比より白銀比だろうね。
有名どころではキティちゃんとかも白銀比。
16 ： ななしのよっしん ：2011/07/11(月) 13:12:52 ID: XgjdYA5z56
>>13
パチ物紹介なんぞいらん。最後でいい
17 ： ななしのよっしん ：2011/07/12(火) 20:08:18 ID: Iv1cbcHJ5M
パチ物だとは思わないが…
意味を複数持つ単語は、それぞれが同列に書かれるべきだと思うし、
リンク先があれば該当するページに飛びやすいように記述すべきだと思うんだ。
今のままだと、他の黄金比を調べに来た人が
よく読まないで回れ右してしまう可能性があるわけで。
18 ： ななしのよっしん ：2011/07/13(水) 00:22:18 ID: vQxv2M0Mfj
>>17
そんなこと言っても
「ツンデレ黄金比」「黄金のガチネタ比」「絶対領域」はそもそも記事タイトル違うし、わざわざこの記事で冒頭で曖昧さ回避する必要も無いと思うけどなぁ・・・。
この記事の内容のパロディではあるけど同音異義語では無いし、使い分けもハッキリしている。別に記事の後半の紹介でもなんら問題ないと思うんだけど・・・。

それに「黄金比（ニコニコ動画）」って記事もあるけど、肝心の元ネタ動画が削除されてほぼデッドリンクになってるし、タグ検索してもその内容の動画が0件だし・・・そもそもこの記事の内容パロディだしねえ。記事の後半でも十分だと思うけどね・・・。
19 ： ななしのよっしん ：2011/08/15(月) 21:26:52 ID: zpucH/K0oC
>>14
あるサイトでの黄金比に近い女性のアジア人の画像見たけど
特にバタ臭くはなかったな
横顔も含めるともしかしたら外人っぽくなるかもしれないが

また白銀比というのもあるし
20 ： ななしのよっしん ：2011/09/13(火) 17:50:59 ID: zpucH/K0oC
http://www.beautyanalysis.com/index2_mba.htm
ここでアジア人女性の黄金比に近い顔がある
うん、バタ臭くない
むしろ可愛いらしいかもしれん
21 ： ななしのよっしん ：2011/09/27(火) 19:52:20 ID: LVLfJnnFKZ
メッシュの黄金比は？
22 ： ななしのよっしん ：2012/02/04(土) 06:35:08 ID: 4c5nExviwF
さ、佐野史郎？
23 ： ななしのよっしん ：2012/04/07(土) 23:53:47 ID: vIulfgjgLd
できるわけがないッ！
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