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1 ななしのよっしん
2009/07/12(日) 02:55:29 ID: ItiHFa4YDi
i^iの話初めて知った。
不定とは言え、必ず実数になるとは・・・
数学ってホント不思議だ。これだから止められない。 -
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2 ななしのよっしん
2009/07/30(木) 03:23:13 ID: g8VWiznMma
類題として、「iの平方根」というのもある
「iのi乗」ほどは面白くないが、なかなか興味深いぞ -
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3 ななしのよっしん
2009/07/31(金) 02:17:17 ID: ItiHFa4YDi
>>2
やってみた。
±(1/√2)*(1+i) になるのか。
ってことは、純虚数の平方根は全て実数でも純虚数でもない複素数、しかも二通り。
これも面白いな。 -
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4 ななしのよっしん
2010/02/24(水) 17:28:04 ID: 1QsxAFwFe3
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5 ななしのよっしん
2010/02/24(水) 22:59:45 ID: PznGoOom/x
>>3 >>4
複素数の範囲内であれば、０以外の平方根は常に２通りですね。
x^2=cの形で重解をもつのは、c=0のときしかないので。 -
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6 ななしのよっしん
2010/02/26(金) 17:03:34 ID: ItiHFa4YDi
>>4>>5
いやそうじゃなくて、純虚数の平方根は
『実数でも虚数でもない複素数が2通り』あるのが面白いと思った。
これが1つは複素数だけどもう1つは実数や虚数だったら興ざめじゃんｗ
まぁそれはあり得ないわけだけども -
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7 ななしのよっしん
2010/03/13(土) 13:50:29 ID: peM+Z3BY01
関連動画に
>>sm9624738
を入れて欲しいです。
プレミアムじゃないので、どなたかお願いします。 -
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8 ななしのよっしん
2010/10/24(日) 19:29:37 ID: fI/XdLYjTq
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9 ななしのよっしん
2010/11/04(木) 21:52:12 ID: PSN3hkBg88
1^i = 1 は実数、
2^i = e^(ilog2) = cos(log2) + isin(log2) は複素数というのも不思議な気がする。
特に1^iが実数なのが。
いや極座標表示で計算したら当たり前なんだけど。
ちなみに純虚数の平方根は複素平面上のx=y上に必ず来るというのも極座標で考えると簡単にわかるんじゃないだろうか。 -
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10 ななしのよっしん
2010/11/18(木) 21:47:55 ID: itSL5S8Zjw
学校では「iは二乗して-1になる数」しか教えてくれなかったが、
虚立方根から色んな発見をした記憶があるな。
幾何学的に見て初めて、虚数の深い世界が分かった。
数学好きになったのはiのおかげだ。ありがとう。 -
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11 ななしのよっしん
2011/05/17(火) 23:03:06 ID: GpCREBeae5
>>8
複素数の範囲では、√z = √r・e^(θ/2+nπ) （ただし r：絶対値 θ：偏角 n：自然数)になるから、nが偶数か奇数かによって２つの値が出てくる。この定義だと√1 = ±1 -
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12 ななしのよっしん
2011/05/18(水) 18:49:40 ID: ItiHFa4YDi
どこから突っ込んでいいのか分からんが全力で釣られてみるｗ
4の平方根が±2であって、√4は±2ではないでしょｗ
√は「正の平方根」を表す記号なんだから。
±√zをどうしても書きたいなら、
“zの平方根は±√z”っつー表現になる。 -
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13 ななしのよっしん
2011/05/22(日) 20:34:59 ID: GpCREBeae5
>>12
実数の範囲での平方根と複素数の範囲の平方根を同列に語るなよ… -
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14 ななしのよっしん
2011/05/22(日) 23:21:01 ID: PznGoOom/x
何にせよ、√って記号は「あるひとつの平方根」を表すために使われるんでは？
√(-1)=iってのは目にしても、√(-1)=±iってなかなか見ないでしょう。
>>4は単に間違えただけだと思います。 -
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15 ななしのよっしん
2011/05/23(月) 00:17:21 ID: ItiHFa4YDi
>>13
・複素数の範囲でも、平方根は高々2個である
・実部が正の場合、正の平方根と呼び、実部が負の場合、負の平方根と呼ぶ
・√記号は、正の平方根を表す記号である
俺のこの大前提の認識が間違っていたら素直に謝る。 -
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16 ななしのよっしん
2011/09/12(月) 21:13:06 ID: TGASJmMZzI
i(-1の平方根)で他のn乗根も表せるようになるのも興味深いな。
1の3乗根は、-1/2+√3 /2i と -1/2-√3 /2i と 1
-1の3乗根は、1/2+√3 /2i と 1/2-√3 /2i と -1
iの3乗根は、√3/2+1/2i と -√3/2+1/2i と -i
-iの3乗根は、√3/2-1/2i と -√3/2-1/2i と i -
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17 ななしのよっしん
2012/01/02(月) 01:22:51 ID: iSsMj/2bNL
>>15
' ・実部が正の場合、正の平方根と呼び、実部が負の場合、負の平方根と呼ぶ '
これは一般的な定義なの？？ -
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18 ななしのよっしん
2012/01/04(水) 11:08:39 ID: PznGoOom/x
>>17
少なくとも自分は聞いたことがないが…
仮にそれが正しいとしたら、√(-1)が定義できなくなる。 -
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19 ななしのよっしん
2012/09/27(木) 22:37:00 ID: bqZ0LYWLbc
ところでx^0+1=0を満たすｘは存在する？
0/0はすべての数になるからすべての数になると思うんだが・・・ -
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20 ななしのよっしん
2012/10/21(日) 04:46:51 ID: uPVZ/3vFM+
>>15
間違っている。
・複素数の範囲では、平方根は２価関数であり、一般には主値を考える
・実部や虚部により平方根の正負を定義することはない
・√記号は、一般には平方根の主値を表す記号であるが、必ずしもそうとは限らないので複素数の範囲で平方根をとるときは必ず断りを入れる。
ついでに何故平方根が一般には２価関数であるのかということも説明しておく。
z=r*exp(iθ)に対しw:=√(r)*exp(iθ/2)とおく。ここで例えばr=1、θ=π/2とする（このときz=i、w=(1+i)/√2）。θをπ/2からπ/2+2πまで変化させると、zは同じ値になるのにwは符号が異なる。
このように複素数の世界では正負の平方根は表裏一体であり、原点のまわりを回るたびに互いに移り変わってしまう。このような減少を防ぐために例えば実軸負の部分に「切れ目」を入れて原点周りを回れないようにし、その上で平方根を定義することが多い。これを「主値」という。
と、ここまでが応用上の話。さらに数学的な話をすると、実はこの定義が気に食わなかった数学者がいた。RiemannとWeierstrassだ。彼らは複素平面全体で「自然に」平方根を定義するために独自の工夫を行った。
Riemannはもう１枚の複素平面を用意し、上で入れた切れ目の部分で繋ぎ合わせた。これが現代で言う「Riemann面」の考え。
一方Weierstrassは局所的に定義された関数の貼りあわせのようなものを考え、擬似的に２価性を保ったまま平方根を定義した。これは現代では「層」と呼ばれていて、定義は違えどどちらも現代数学で大きな役割を果たしている。
>>19
よほど気味の悪い累乗の定義をしない限り0以外の複素数の範囲では存在しない。
0^0=-1と定義すればあり得なくはないが、普通は0^0は1ないし0とするから結局「存在しない」と考えて良い。 -
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21 ななしのよっしん
2013/04/24(水) 18:51:14 ID: N54uxBBdiC
>>19
x^0+1-1=0-1
x^0 =-1
1 =-1
こーなんない？ -
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22 名無しのよっしん
2013/06/30(日) 19:42:24 ID: RY4lDp9VYS
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23 ななしのよっしん
2014/02/07(金) 14:46:35 ID: bpKvpipC1e
i^iは実数よりも超越数と言ったほうがしっくりくる。
余談だけどe^π（ゲルフォントの定数）というのがある。コイツもオイラーの公式使って両辺にi乗すれば導ける。 -
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24 ななしのよっしん
2014/03/27(木) 23:50:05 ID: iSUUDYF1oO
高校のころ、習った時はどうしても代数と混ざって困った
いっそ符号のようなもんだとして「±ib」って書いてくれた方が助かった -
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25 ななしのよっしん
2014/06/06(金) 00:55:34 ID: +g8w0O1Qtw
この「存在しないもの」の「存在を証明した」天才たちは化け物だな。
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26 ななしのよっしん
2014/10/12(日) 23:25:56 ID: GqjFsFPHx2
電気でiがjになるのは良いとしても
biだったのがjbとなるのはほんと勘弁してほしい
なんで順序逆にするんやどこに見解の相違があったんや -
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27 ななしのよっしん
2014/10/13(月) 02:14:22 ID: PznGoOom/x
>>26
定数と変数の積なら、定数を先に書く、という考えなんじゃないですかね。
だからjbになる。
一方で、実数と虚数単位の積なら、実数を先に書くこともあるので、biと書いたり。
その辺は、学校のテストでもない限り、決まったルールはなくて、
書く人の感覚による部分が大きいんですよね～。 -
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28 ななしのよっしん
2015/04/18(土) 09:50:33 ID: QjaD7wwFsT
虚数i＝√-1が出来たのは
数学が高度化してきて実数だけでは計算が成り立たなくなったからってことでおｋ？ -
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29 ななしのよっしん
2015/06/14(日) 16:29:21 ID: PP95MZ5Iyw
x+a=0(a>0)の解が存在しないのは不自然だ→負の数の誕生、ax+b=0(a≠0)の解が存在しないのは不自然だ→有理数の誕生、x^2+1=0の解が存在しないのは不自然だ→複素数の誕生 って感じじゃないかな
高度になったからというよりは、複素数を考えないのは負の数や有理数を頑なに認めないくらいには不自然でおかしなこと、という感覚がある -
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30 ななしのよっしん
2015/06/24(水) 21:34:55 ID: exoIpCTtMr
一番最初は三次方程式の公式で登場した。＞虚数の起源
これが面白いことに、三次方程式が実数解を三つ持つケースであっても、公式上は虚数を使わないとそれを表現することができない。
だから当時は「計算途上で形式上現れるけど最後は打ち消されるから気にしちゃダメだよ！」みたいな感じだったんだけど、代数学の基本定理を見るとどう考えてもn次方程式に解n個と考える方が自然なので、できる数学者は気にせず使ってた。 -
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