今注目のニュース
10歳年上の彼氏から待望のプロポーズ 判明した「貯金事情」に絶句…
東北道・蓮田SAでトラック運転手が立ちション 運送会社は「あり得ない」
おじさんと少女のコンビが崩壊直前の世界を冒険、90年代アニメと『ゼルダの伝説』の影響を受けた『Eastward』がNintendo Switchで2020年に国内配信へ

黄金比単語

オウゴンヒ

掲示板をみる(41)
  • twitter
  • facebook
  • はてな
  • LINE

黄金比とは、幾何学において1:1.618…として表されるである。人間にとって最も美しい率と称される事が多い。

概要

まず、長方形を1つ考える。そこから、短いほうの辺の長さを1辺とする正方形を切り取る。すると、小さい長方形ができる。この長方形が、元の長方形と相似であるようにしたときの、辺のを黄金比という。

長方形を使わずに、線分で考えることもできる。ある線分を、長さの異なる2つの線分に分割する。そのとき、長さのが(長いほう):(元の線分)=(短いほう):(長いほう)となるようにしたときの、線分の長さのを黄金比という。

もっと具体的にいうと、1:(1+√5)/2である。記号ではφを用い、1:φと書く。このφオイラーの等式には出てこないが、れっきとした重要な数学定数のひとつである。

この自然界でたびたび出現するだけあって美しいと言われている。人工物でも芸術作品や建造物に多く使われている。2辺のが黄金比であるような長方形は長方形とも呼ばれ、名刺にも使われている。ちなみに印刷は機能面を重視するため、辺のは1:√2である。

作図法黄金長方形の作図法の説明です。

長方形のよく知られた作図法を紹介する。

  1. 正方形ABCDを作図する。
  2. 辺BCの中点Mをとる。
  3. Mを中心とした、半径MDの円を描く。
  4. 辺BCをCのほうに延長し、3.で描いた円との交点をPとする。
  5. Pを通り、辺BCに垂直な直線を描く。
  6. 5.で描いた直線と、辺ADの延長線との交点をQとする。
  7. 長方形ABPQが、長方形である。

証明

証明のために2点を加えた図です。

上記の通り作図したとき、長方形ABPQが長方形であることを示す。

辺BCをBのほうに延長し、3.で描いた円との交点をP'とする。
P'を通り、辺BCに垂直な直線を描く。
それと辺ADの延長線との交点をQ'とする。
AP',APをそれぞれ結ぶ。 

線分PP'は円の直径なので、三角形P'APは、
Aが直となる直三角形である。

ABとPP'は垂直なので、三角形P'BAと三角形ABPも直三角形である
三角形P'AP三角形P'BAは、AP'Bを共有しているので相似。
三角形P'AP三角形ABPは、APBを共有しているので相似。
よって、三角形P'BAと三角形ABPは相似。
したがって、長方形P'BAQ'と長方形ABPQも相似である。・・・(1)

点Mは円の中心なので、線分MP'と線分MPは長さが等しい。
点Mは辺BCの中点でもあるので、
線分MBと線分MCは長さが等しい。
よって、線分BP'と線分CPは長さが等しい。
線分ABと線分DCは長さが等しいので、長方形P'BAQ'と長方形PCDQ合同である。・・・(2)

(1),(2)より、長方形PCDQと長方形ABPQは相似である。
したがって、長方形ABPQは長方形である。

別証

辺ABの長さをaとする。
Mは辺BCの中点なので、線分BM,線分MCの長さはいずれもa/2である。
CDの長さはaなので、ピタゴラスの定理より、線分MDの長さは√5a/2。
よって、線分MPの長さも、√5a/2。
よって、線分BPの長さは、a/2+√5a/2 = a・(1+√5)/2 = φa
したがって、辺ABと線分BPの長さのは、1:φである。
ゆえに、長方形ABPQは長方形である。

この明は前述の明より短いが、黄金比の具体的な値を2次方程式によりめなければならず、純に幾何的な明ではない。

ニコニコ動画に関連する黄金比

  1. ニコニコ動画において、再生数、コメント数、マイリスト数の状態。→黄金比(ニコニコ動画)
  2. ツンデレにおいて、ツンとデレの理想的な率。→ツンデレ黄金比=9:1
  3. VOCALOID作品において、ネタとガチの要素を併せ持つ楽曲。→黄金のガチネタ比
  4. コスプレにおいて、ミニスカート、露出した太腿、ニーソックスの理想的な率。→絶対領域

関連動画

関連項目

掲示板

  • 39ななしのよっしん

    2017/05/03(水) 16:05:35 ID: /uroV8GHux

    http://dic.nicovideo.jp/a/%E4%BE%8B%E3%81%AE%E9%A1%94

  • 40ななしのよっしん

    2017/05/05(金) 11:26:14 ID: Il4lAuPXZT

    白銀比 1:√2 はA4, B5などの縦横でお染みで、黄金比よりも多くの場面で使われてるよね このは折りたたんだときに元の状態と縦横が等しくなる

  • 41ななしのよっしん

    2017/11/19(日) 23:32:58 ID: sKMe0k/E4S

    1:2とかの方がいいと思います

急上昇ワード

最終更新:2019/08/20(火) 01:00

ほめられた記事

最終更新:2019/08/20(火) 01:00

ウォッチリストに追加しました!

すでにウォッチリストに
入っています。

OK

追加に失敗しました。

OK

追加にはログインが必要です。

       

ほめた!

すでにほめています。

すでにほめています。

ほめるを取消しました。

OK

ほめるに失敗しました。

OK

ほめるの取消しに失敗しました。

OK

ほめるにはログインが必要です。

TOP