オイラーの等式単語

オイラーノトウシキ

オイラーの等式とは、eiπ+1=0である。

大きく書くと

eiπ+1=0

となる。eはネイピア数を表し、iは虚数単位を表し、π円周率を表す。1と0は日常生活でよく見かける1と0のそのものである。

概要

オイラーの公式が綺麗な形になった間である。

2003年に出版された『博士の愛した数式』にも登場する式。しかし、日常生活を送る上では、まず使わないし、何の役にも立たない式である。

この等式の凄いところ

数学の基本的な定数である e i π 1 0 がそれぞれ1回ずつ登場して完結しているところ。やたら形がシンプルであるところ。そのため、いかにこの式が美しくて凄いのか、数学マニアらせるとやたら長くなることがある。

この式は、あれこれ難しく考えてきたことの結果が、実はこんな簡単に表現できるのでした、という例の最たるものといえる。

ちなみに、円周率π(円の直径に対する円周の)の代わりにτ(円の半径に対する円周の)という概念を導入すると、eiτ=1とさらに簡素に表現できる。

オイラーの公式

指数関数ex=exp(x)は虚数単位iを通して三角関数cos(x)およびsin(x)で表現できる。

eix=cos(x)+isin(x)

これをオイラーの公式と呼ぶ。オイラーの公式にπを代入したものがオイラーの等式となる。
逆にいうとオイラーの等式を一般化したものがオイラーの公式である。
微分方程式を駆使する分野で頻出し、指数関数三角関数を結ぶ重要な公式として重宝される。
日常的に使う人は少数だが、この記事の読者の使っている箱を設計する過程で避けては通れないとっても大事な公式なのだ。

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オイラーの等式

77 ななしのよっしん
2018/06/19(火) 02:45:03 ID: 7VKtUBsi6z
>>76
だから円という定義についてはあとからそうなっただけで,
円周率ってのは「周と径の」でしかない。
直観的か直感的だか自然だか言うのは所詮アナタの主観にすぎない。
ずっと定義が変更されず,τを導入して普及させようとしてもほとんど相手にされていない。それが現実
どれだけ同じを繰り返しても駄。
78 ななしのよっしん
2018/06/19(火) 03:07:35 ID: KwdTPGWcWk
一ヵ所変えりゃええやんといってもその一ヵ所が大な数の定理公式と結びついてるから今更変えようがないというのもある
79 ななしのよっしん
2018/07/18(水) 20:51:40 ID: zu8Qo++1RA
>>77
それ単にデファクトスタンダードになってることの説明やん
あと何か勘違いしてるみたいだけど別に今更浸透しまくってる定義変えろとか思ってないよ
80 ななしのよっしん
2018/07/24(火) 08:48:32 ID: g/tCgYC7Ui
シンプル美しいってのは分からんでもない
けどeとかπが何らかの意味を持っている数学体系のもとでe^iπ=-1は凄いと言われても素直に賛成できない
数に存在する無理数の中でa^ib=-1が成り立つ無理数(a,b)の組がeとπのみだってなら凄さは分かる
81 ななしのよっしん
2018/08/16(木) 00:29:53 ID: fqCKjT3Yiv
まあiが含まれてる時点で当たり前だけど複素数の(人間理やり作った)世界の話だからな

e^ix=cos(x)+isin(x)という複素面の式にx=πを代入して
e^iπ=-1+0iと表現できる
これを変形していかにも実数世界みたいに
e^iπ+1=0なんて表現してるから胡散臭えなと昔思った記憶がある
82 ななしのよっしん
2018/08/16(木) 05:01:42 ID: L7zoDkpb+s
オイラーの等式々より、度をラジアン表記したときに1周=τとなるから直感的だということのほうが重要ではないか。

1周を6分割した度をπ/3とするよりτ/6としたほうがわかりやすい。
83 ななしのよっしん
2018/08/16(木) 05:04:47 ID: L7zoDkpb+s
すいませんτの記事に書くべき所誤爆しました。
84 ななしのよっしん
2019/02/03(日) 05:08:58 ID: 7VKtUBsi6z
>>79
だからデファクトスタンダードで何の問題もなく浸透しているのなら定義なんか変える必要
> 計測上計算上は便利なπよりも半径と円周のτを使う方が直感的で自然だとも考えられる
なんぞとしたところで数学的利点がない,というよりも再定義する意義が全くないことに気付こう

直観的ならいざ知らず,直感的であるというのは君の考えであって,
むしろ何故に直感的で自然かつ実用性に富むのかを詳らかに説くべきなのだ
> 決して式を綺麗にしようとして理やりπを2倍にするって訳じゃない。
と述べているが,君のこそこの感覚しかないのではないのかね?
85 ななしのよっしん
2019/02/03(日) 05:14:16 ID: 7VKtUBsi6z
>>84
そして今日において円周率の定義は一切変わっておらず,
その値はπ=3.14...のままで運用されている

そう言うことだよ
数学界や数学を使う界丸ごと納得させられなければ,
変わりはしないし,不可能に挑んでるだけだよ
まあτで定義した数学大系に直す異端チームに加わるのは自由だけどね
86 ななしのよっしん
2019/02/03(日) 05:16:00 ID: 7VKtUBsi6z
アンミス
>>85の文面は>>79へのもの

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