オイラーの等式単語

8件
オイラーノトウシキ
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オイラーの等式とは、eiπ+1=0である。

大きく書くと

eiπ+1=0

となる。eはネイピア数を表し、iは虚数単位を表し、π円周率を表す。1と0は日常生活でよく見かける1と0のそのものである。

概要

オイラーの公式が綺麗な形になった間である。

2003年に出版された『博士の愛した数式』にも登場する式。しかし、日常生活を送る上では、まず使わないし、何の役にも立たない式である。

この等式の凄いところ

数学の基本的な定数である e i π 1 0 がそれぞれ1回ずつ登場して完結しているところ。やたら形がシンプルであるところ。そのため、いかにこの式が美しくて凄いのか、数学マニアらせるとやたら長くなることがある。

この式は、あれこれ難しく考えてきたことの結果が、実はこんな簡単に表現できるのでした、という例の最たるものといえる。

ちなみに、円周率π(円の直径に対する円周の)の代わりにτ(円の半径に対する円周の)という概念を導入すると、eiτ=1とさらに簡素に表現できる。

オイラーの公式

指数関数ex=exp(x)は虚数単位iを通して三角関数cos(x)およびsin(x)で表現できる。

eix=cos(x)+isin(x)

これをオイラーの公式と呼ぶ。オイラーの公式にπを代入したものがオイラーの等式となる。
逆にいうとオイラーの等式を一般化したものがオイラーの公式である。
微分方程式を駆使する分野で頻出し、指数関数三角関数を結ぶ重要な公式として重宝される。
日常的に使う人は少数だが、この記事の読者の使っている箱を設計する過程で避けては通れないとっても大事な公式なのだ。

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オイラーの等式

88 ななしのよっしん
2019/12/19(木) 19:53:51 ID: rKznOyGUqO
右辺が1だと「綺麗だね」で終わりだが、
-1のおかげでn乗すると±1で振動するので応用が利く
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89 ななしのよっしん
2020/03/04(水) 09:57:23 ID: jajXm8jsrE
オイラもそう思う
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90 ななしのよっしん
2020/05/30(土) 06:47:19 ID: CKAr2HfD89
・数の種類として複素数(2元数)があって
定数として 0,1,i,e,π が有って
・演算で足算,掛算があって
関数として三角関数対数関数があって
これだけで十分、
これだけで世界が閉じてしまう、、ってこったよなぁ! すごいぞこれ!!

以下の予想が導かれる
・0,1,i,e,π以外の定数は要らない
・4則演算が有れば良い
・3元数, 4元数とかのスーパー虚数も要らない
・4関数とか…関数とかの関数も要らない
高校数学で教わったのはあとは微積と集合くらいか(確率は4則演算に含むとすれば)
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91 ななしのよっしん
2020/07/19(日) 09:47:36 ID: amLAy/mREU
虚数を通じて三角関数対数関数を結べるのが面
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92 オケバヤシ
2021/02/22(月) 00:03:43 ID: 3/7qYwrxAK
虚数単位を通じて、超越数であるeとπ三角関数と結び、-1などの定数になれることに対しては、感以外何も言えない。
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93 ななしのよっしん
2021/10/24(日) 20:58:10 ID: ZcTlSCs92E
文系ボク「eの虚数乗ってなんや」
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94 ななしのよっしん
2022/01/10(月) 18:19:06 ID: ywMVN7XEN4
今これに匹敵する等式を発表したら即座に全世界報道されて世界中から祝福を受けてありとあらゆる名誉を得られただろうに

当時はオイラーの周りにいる極々一部の人に知られただけで、それで終わり。悲しいねえ
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95 ななしのよっしん
2022/04/06(水) 13:27:18 ID: U9PqBxhmn0
1+e^(iπ)=0
1とe^(iπ)が対になる感じが良い
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96 ななしのよっしん
2022/04/24(日) 13:08:15 ID: jGuSUO0F27
シンプルで短い式なのに、ほんと集大成というか数学の中枢って感じがする
0と1、代数のi、解析のe、幾何のπ
レベル3までの基本的なハイパー演算(加算・乗算・冪乗)も全部入っている
加算は+1なので見方によってはレベル0の後者も入っていると言えるだろう
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97 ななしのよっしん
2022/10/16(日) 21:24:47 ID: xtDCTCVx9O
>>88
θ=π/2にして右辺をiにすると更に応用が利く
θ=π/4にして右辺を(1+i)/2にすると更に更に応用が利く
θ=π/8にして...
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