三角関数単語

サンカクカンスウ

三角関数とは、数学において特に有名な関数のひとつ。日本数学教育においては、数学IIで初出する。

概要

  1. 三角比の図解です。まず、鉛筆定規コンパス分度器を用意しよう。
  2. に、鉛筆で十字をひとつ描こう。この時、十字はいっぱいに大きく描いて、ん中で交差するようにね。
  3. 十字の交差したところ付近に小さくOと書き、交差点を中心に円を描こう。
  4. 円と十字の交差した4つの点のうち、向かって上と右に1、下と左に-1を書こう。
  5. これで準備は万端。どの度にするか決めたかな?
  6. 円の3時の位置から、決めた度だけ円周に沿って反時計回りに進もう。
  7. 行きついた点から、十字の縦線と横線にそれぞれ直に交わるように線を引こう。
  8. それぞれの交わった点は、-1から1までの間にあるね。その点に対応する数を考えよう。
  9. ちゃんとした値を知りたければ、十字の交差してる点からの長さを測って、円の半径で割ればOK。
  10. 縦線と交わった点に対応する数が、その度のサイン。横線ならコサインサインをコサインで割った値がタンジェント。割る数が0になるときは、値がないと言っていたり、限と言っていたりするよ。高校数学では値なし。
  11. サインサイン割ればコタンジェントだし、1をコサイン割ればセカント、1をサイン割ればコセカント。ただ、これらは高校では出てこないよ。

定義

の概念を一般的な度に拡したもの。三では0°から180°までしか対応しなかったが、三角関数では度の大きさによる制約は受けない。め方は概要に書いたとおり。サイン、コサイン以外は元々の定義ではないが、概要の通りに定義しても同値である。十字は座標軸、円は単位円、3時の位置は始線の方向、縦線との交点に対応する数はy座標、横(以下同文)はx座標をしている。

記号による書き方は、θに対して、サインsinθ、コサインはcosθ、タンジェントはtanθ、コタンジェントはcotθ、セカントsecθ、コセカントcscθと表す。弧度法によって度を実数として表すことができるが、その場合はθではなくxと書くこともある。

一般角

度の大きさによる制約は受けない」と前述したが、それは度が負の値をとったり、360°をえてもよいという意味でもある。負のであれば、時計回り度の絶対値だけ動けばよい。360°+αであれば、1回転多めに回ってα度に行きつく。結果として、いかなる度であっても360°で割った余りと同じ位置になる。だがそれは結果が同じなだけであり、過程は違うことを忘れてはいけない。後ろを向かせる命令でもまわれ右とまわれ左では動きが違うし、3回まわってワンと言うのと、ただ単にワンというのが違うのはおわかりであろう。

グラフ

三角関数は、その性質により周期的なグラフになる。特にサイン、コサインのグラフは波打ったようなグラフになる。サインのグラフは原点について対称な奇関数、コサインのグラフはy軸について対称な偶関数となる。サインとコサインのグラフは、π/2だけ横にずらせば重なる。

サイン、コサインのグラフタンジェントのグラフ

公式

三角関数には、非常に多くの定理公式が存在する。それが三角関数の美しさを表現しているものだが、受験生にとってはその多さが悩みの種である。

相互関係

第1,2式は、それぞれ奇関数、偶関数の性質からわかる。第3,4式はグラフの行移動からわかる。第5~8式は概要と定義で既に述べた。第9式は、点(cosx,sinx)が単位円上にあることからわかる。第10式は第9式の両辺をcos2xで割ったもの、第11式は第9式の両辺をsin2xで割ったものである。

加法定理

高校の教科書では、第1~4式のうち1つを図形的に明し、残りの3式を相互関係から導く方法をとっている。しかし、後述するオイラーの公式を使えば、ものの数行で導き出せてしまう。第5式は第1式を第3式で割ったもの、第6式は第2式を第4式で割ったものである。また、α+β<π/2のとき、右図のように1つの図形だけで明できる。

暗記法としては、「咲いたコスモスコスモス咲いた」「コスモスコスモス咲いた咲いた」が特に有名。但し、コサインの加法定理は符号も含めて覚えるために「コスモスコスモス咲かない咲かない」と覚える人もいる。重要な式だけあって、この他にも様々な語呂合わせが考え出されており、バリエーションはとても広い。

2倍角の公式

加法定理の式のβαを代入した式。第2式の後半は相互作用の第9式より従う。

3倍角の公式

加法定理の式のβに2αを代入した式。教科書にはあまり載っていないので、2倍は覚えてもこれを覚える人は少ないだろう。しかし作るとなると結構時間がかかったりする。ちなみに、これを巧みに用いて一部の3次方程式を解くことができる。

半角の公式

サインの2倍公式において、αα/2に置き換えて変形したもの。2乗がついているのはそのため。

積和の公式

三角関数の積の形の式を和の形の式に変形する公式。加法定理の式を足したり引いたりすることで作れる。

和積の公式

三角関数の和の形の式を積の形の式に変形する公式。和積の公式においてA=α+β,B=α-βとすることで導かれる。

三角関数の合成

asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+α) ※但し、αはcosα=a/√(a2+b2), sinα=b/√(a2+b2)を満たす

2つの三角関数の和を1つの三角関数で表す式。これも加法定理から導き出される。

微分

このように、サインとコサイン微分においても深い関係性を持っている。微分についてよく知らない人からするとただ単に単純な式のように見えるかもしれないが、これは定義でも公理でもなく、定理である。この単純さこそが三角関数の美しさを物語っているのである。

オイラーの公式

eix=cosx+isinxeネイピア数,i虚数単位(i2=-1)

虚数単位によって指数関数三角関数を結び付ける式。この公式により、今まで別物として考えられてきた2種類の関数が、実は非常に深い関係性にあることがわかる。この公式が導き出される過程で、前述の微分が重要な役割を担っている。オイラーの公式π(円周率)を代入したものは、数学で最も美しい式(オイラーの等式)とされ、非常に有名。

eiπ+1=0

複素関数としての三角関数

前述のオイラーの公式を用いて、三角関数の定義域を実数から複素数に拡できる。

eix=cosx+isinx,e-ix=cosx-isinx

なので、これを足して2で割ると、cosx=(eix+e-ix)/2
引いて2iで割ると、sinx=(eix-e-ix)/2i
xixで置き換えることによって、

cos(ix)=(e-x+ex)/2,sin(ix)=(e-x-ex)/2i

を得る。このことから、純虚数のコサイン実数、純虚数サインは純虚数になる。ちなみに、この式は双曲線関数を用いて

cos(ix)=coshx,sin(ix)=isinhx

と書ける。一般の複素数においては、加法定理を用いて

cos(x+iy)=cosxcos(iy)-sinxsin(iy)=cosxcoshx-isinxsinhy
sin(x+iy)=sinxcos(iy)+cosxsin(iy)=sinxcoshx+icosxsinhy

となる。ちなみに、ここでのx,y実数である必要はない。

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三角関数

69 ななしのよっしん
2016/07/08(金) 04:34:23 ID: 8YV0vYFYYR
ニコ百的には、それがどうすごいのか・どんな役に立ったのかを記述して欲しい
いやすごすぎて書ききれないってのはわかるよ?
応用範囲広すぎて何書けばいいんだよってのもわかるよ?
でもぶっちゃけ、定義とか公式とか三角関数が関わる定理とか書かれても
喜ぶのは数学ヲタだけで、数学興味ない・諦めた一般ヲタ層は戻るボタン押すだけだと思うんだ
70 名無し
2016/09/17(土) 01:33:46 ID: FTT5oAIylF
>>69
実用で思い浮かぶのは、モノが何かに斜めに当たったときの分解するときと、ゲーム等で画像を回すことだな。
キャラクタを点の塊と考えて、ある点Pが座標x1,y1にありそれをx2,y2を中心にθ回すとかね

スマホの2Dゲームでも描画速度の速いOpenGLまで手出すと、描画に使う頂点の行移動・回転・拡大縮小をするのに今は亡き(2022年度から復活する)数学Cレベル行列も使う。

節点(x,y,z)を(X,Y,Z)だけ行移動するなら行列((1,0,0,X),(0,1,0,Y),(0,0,1,Z),)(0,0,0,1))*(x,y,z,1)を計算すればいいとか。(回転させる行列は複雑だけど)
71 ななしのよっしん
2017/01/14(土) 11:48:46 ID: eXGufSaOaX
X' = Xcosθ - Ysinθ
Y' = Xsinθ + Ycosθ

ゲーム自作する時に役立つであろう魔法の式
72 ななしのよっしん
2017/10/28(土) 11:09:49 ID: O2CFiInWa4
まじでこれ高校で教えるのやめてほしい。
今までの数学とは性質が違い過ぎて数学アレルギーおこしやすい。
そもそも高卒で就職するようならは三角関数なんて永遠に縁だろ。
むしろ高卒日常生活で最も役立つ論理式と確率と期待値に注しろ。

そもそもにして高校数学レベルじゃあ三角関数微分はどう頑っても循環定理になるんだから。
73 ななしのよっしん
2017/12/20(水) 20:17:06 ID: Ued+OlBNwA
遊びでも仕事でも三角関数を利用できる場面これまでにたくさんあったんだけど
三角関数縁とか思うような人って三角関数が役に立つここぞという場面に利用できてなかっただけじゃね?

の場合は例えばゴルフゲームで遊んでて北へボールを打ちたいとして
きっかり北北東に速10mのが吹いてたら
北への成分は速10mにsin60°の約0.86を掛けて速約8.6m
東への成分は速10mにcos60°の0.5を掛けて速5m
東に速5m、そんで追い8.6m吹いているんだなって考えてボール打ったり

戦略ゲームユニット配置でも何かのデザインでもいいけど
何かを円状に配置したいとして、ある度に対する正確なx座標y座標をめたい時に
x座標をcosθ、y座標をsinθを使ってめることはしょっちゅうある
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
74 ななしのよっしん
2018/01/06(土) 15:18:59 ID: DY1MJGVhe6
>>72それ言っちゃうと体育も美術も音楽も大多数には不要になっちゃうでしょ!
ただ確かに論理確率はもっとやるべきだよなぁ
75 ななしのよっしん
2018/01/16(火) 21:47:26 ID: xh2zVmUjUb
というか数学教科書がペラすぎやしませんかね
それが一番の問題では
76 ななしのよっしん
2018/03/19(月) 07:03:44 ID: iegpTokyzh
高校数学レベルだと三角関数微分が循環定理って本当かね
77 ななしのよっしん
2018/05/04(金) 04:52:44 ID: yvbx7dKzob
大学で死ぬほど使ったのに、三角関数使わない仕事について10年もするとすっかり忘れてるなぁ。
仕事で当たり前のように使いこなしている同輩を見てると、もっかい勉強し直したくなる。
78 ななしのよっしん
2019/01/12(土) 00:31:34 ID: Pm9M4AEk8B
>>76
sinxの微分めるのにsinx/x の極限が必要
sinx/x の極限をめるのに円の面積から導く(少なくとも私の教科書ではそうだった)
円の面積めるのにsinxの積分の解析解が必要
sinxの解析解にはsinxの微分が必要

ざっくりとこんな感じになってるね
ただ円の面積じゃなくて線の長さで極限をめればπsinの定義だけで十分な気がするけど・・・なんでやらないんだろ

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