ニコニコ大百科: 「自然対数の底」について語るスレ 31番目から30個の書き込み

自然対数の底

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31 ななしのよっしん非表示

2013/04/07(日) 18:11:14 ID: Dm90GeF5QN

たしかにこの数（e=2.72 1828...）が一体なんなのか、なんでこんな数を考えるのか、の説明がどこかに欲しいよね。
例えとしては >>24の「無限複利」がわかりやすいし、
数学屋さんにとってはe^xの微分がまたe^xになる数、として扱いやすいから、でいいのかな。
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32 ななしのよっしん非表示

2013/04/07(日) 20:56:14 ID: atBiXLpbFm

逆に、微分しても変わらない関数は、e^xの定数倍しかないしね。

あと、「n面のサイコロをn回振って、特定の目が1回も出ない確率」を計算すると、
nが大きければ1/eに近づく。
感覚的には1回くらい出るんじゃないかって思うかもしれないけど。
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33 ななしのよっしん非表示

2013/04/08(月) 21:27:57 ID: cmBFvbmGwC

e^(iθ) = cos θ+ i sin θ
これは複素平面上で半径1の円を表すんだよね、θ=0のとき(1,0)θ=π/2のとき(0,i)θ=πのとき(-1,0)という感じで。
e^(aθ)を微分するとae^(aθ)となるから、e^(aθ)というものはe^(aθ)の大きさに比例してどんどん増加したり減少したりしていく。
a>0のときは、θ=0のときのe^(aθ)=1からどんどん増加していき、a<0のときはθ=0のときのe^(aθ)=1から少しずつ減少していく。
e^(iθ)はa=iのときだから、複素平面上で今いる位置と直角に進んでいき円になる感じ。大きさは常に1だから速さは変わらないしね。
マイナスかけると180°回転iかけると90°回転とかの認識が少しあると分かりやすいかも。
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34 ななしのよっしん非表示

2013/07/02(火) 23:30:51 ID: hJV/EaJLPq

>>19
俺は

布団の中で一発二発一発二発しごくOh!
　2.　　　7　　18　　28　18　　28　459　0

って教わった。
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35 ななしのよっしん非表示

2013/07/27(土) 19:53:14 ID: axf0pVAJpI

>>34
教わったって・・・
先生何を教えてんだよ・・・
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36 ななしのよっしん非表示

2013/08/11(日) 21:58:57 ID: R54LzkoQSB

男子校なら語呂合わせを下ネタで教わってもおかしくはない。
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37 ななしのよっしん非表示

2013/08/17(土) 23:12:32 ID: hJV/EaJLPq

>>36
共学なんだよ・・・
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38 ななしのよっしん非表示

2013/09/28(土) 22:36:00 ID: 0wtQT14vi5

eの定義は、ｎ＝１，２，３... を無限大に大きくしたときに
（１＋（１/ｎ））^ｎ＝（１＋(１/ｎ））×・・・×（１＋(１/ｎ））　（ｎ回掛ける）
が近づいていく値のことだ。

この定義もよく考えると面白い。

ｎをどんどん大きくしていくと（１＋（１/ｎ）はどんどん1に近づく。　　（足し算側）
一方で、（１＋（１/ｎ））を掛ける回数もどんどん増えていく。　　　　　（掛け算側）
「掛け算側」の影響で、無限大にまで大きくなるように見えるけど、
「足し算側」で1に近づくせいで、無限大には届かずに近づいていく。

「掛け算側」と「足し算側」が打ち消し合って、丁度ｅになるという感じ。
だからｅという数は、足し算と掛け算を関係づけることがあっても変では無い訳だ。
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39 ななしのよっしん非表示

2013/09/28(土) 22:37:26 ID: 0wtQT14vi5

「足し算側」で1に近づくせいで、無限大には届かずに近づいていく。
→「足し算側」で1に近づくせいで、無限大には届かずｅに近づいていく。
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40 ななしのよっしん非表示

2014/02/07(金) 01:20:39 ID: 78KWf7haHa

鮒一鉢二鉢一鉢二鉢
ふなひとはちふたはちひとはちふたはち

って習ったなぁ
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41 ななしのよっしん非表示

2014/02/18(火) 20:34:49 ID: xQRZ7QK0PF

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + …　であり、
exp(0) = 1、exp(x)のn次導関数 = exp(x)　だから、
exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …　となり、
この式の右辺をx = 0としたものが記事にある電卓での求め方か。
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42 ななしのよっしん非表示

2014/08/23(土) 19:15:05 ID: ZmSARSXg14

完全順列の話でeが登場する。

1,2,3,……,nの番号が書かれたn個の箱に、1,2,3,……,nの番号が書かれたn個の球を1個ずつ無作為に箱に入れる。
このとき、いずれの箱においても、箱の番号とその箱に入っている球の番号が一致しない確率はいくらか。
例えば、n=2の場合、(1,2)と並んでいる箱に対し全ての球の入れ方は(2!=)2通りだが、箱の番号とその箱に入っている球の番号が一致しない球の入れ方は(2,1)の1通りで、確率は1/2。
n=3の場合、(1,2,3)と並んでいる箱に対し全ての球の入れ方は(3!=)6通りだが、箱の番号とその箱に入っている球の番号が一致しない球の入れ方は(2,3,1)と(3,1,2)の2通りで、確率は2/6。
nを無限大にすると確率は1/eになる。(難しい話はWikipedia参照。)
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43 ななしのよっしん非表示

2014/10/19(日) 12:01:10 ID: swO7mPRczG

大村平の「おもしろい確率の話」では、スワッピングしたいn組の夫婦が集まったときに、旦那と嫁さんが一致しない確率がn増やしたら1/eに落ち着くという、あの人らしい内容とおもしろおかしい文章で書かれててすごく納得いった思い出があるw

つまり偶然性に任せても物事1対1に問題解決できない可能性が潜在的に36.7873%(=1/e)はある、企業なんかもなにかを生産するときに36.7873%は無駄になっても仕方がないと思って経営しないと健全な企業にならない、ってことらしい。

こういう摂理もおもしろいね。
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44 ななしのよっしん非表示

2014/11/11(火) 14:53:53 ID: tcPC3dOAHr

秘書問題とか安定結婚問題とか
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45 ななしのよっしん非表示

2015/02/18(水) 00:29:30 ID: GLj8a5oRi1

フィボナッチ数の一つ飛ばし？
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46 ななしのよっしん非表示

2015/02/21(土) 16:24:38 ID: AtfZe7KyEy

>>32
正確にはe^xの定数倍と0ね
0はいくら微分しようが0
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47 ななしのよっしん非表示

2015/02/21(土) 16:26:04 ID: AtfZe7KyEy

0はe^xの0倍の場合か、すみません
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48 ななしのよっしん非表示

2015/04/03(金) 23:54:20 ID: dY06u28zdZ

無限に小さい確率の事象を無限に小さい微小時間ごとに発生するシミュレートするようなものだから、自然界にeがよく出てくるんだ。

教師から教わってなるほどと思った説明
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49 ななしのよっしん非表示

2015/04/18(土) 16:22:09 ID: 0wtQT14vi5

>>48
それは納得感がある説明だな。
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50 ななしのよっしん非表示

2015/10/09(金) 04:10:02 ID: GLj8a5oRi1

1/eでググったら0.36787944117だったんだが……
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51 ななしのよっしん非表示

2015/11/12(木) 14:19:13 ID: w82ZwM8BWT

>>50
>>43の「36.7873%(=1/e)」に対して言ってるのかな？
0.36787944117 = 36.787944117% だよ
それとも3と9の打ち間違いにツッコんでる？
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52 ななしのよっしん非表示

2015/12/12(土) 19:10:11 ID: ZmSARSXg14

大学の教科書だとまずexp(x):=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+…と定義してからe:=exp(1)とする場合が多い。
こうするとe^xの微分がe^xになるのは自明。
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53 ななしのよっしん非表示

2015/12/15(火) 16:05:48 ID: vodAV5xQuX

exp(x)のマクローリン展開（とりあえずx^10まで）にx=1を当てはめると
1+1/1!+1/2!+...+1/10! < e ⇒　2.71828011463 < e

x=-1を当てはめると
1-1/1!+1/2!-1/3!+...-1/9! < 1/e < 1-1/1!+1/2!-1/3!+...+1/10!
⇒2.71828165766 < e < 2.71828369 390

「eが2.72以下であることを証明せよ」って入試問題いつしか出そう
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54 ななしのよっしん非表示

2016/01/28(木) 15:33:58 ID: glVlLoJHWL

>>53
マクローリン展開が高校の範囲外やから当分でないと思うで
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55 ななしのよっしん非表示

2016/02/27(土) 19:46:19 ID: GTgVbVSDYt

http://server-test.net/math/php_q.php?name=tokyo&v1=1&v2=2016&v3=1&y1=2016&n1=1&y2=2016&n2=2&y3=2016&n3=3&y4=2016&n4=4&y5=2016&n5=5&y6=2016&n6=6&y7=0000&n7=0
今年の東大の問題で自然対数の底の問題が出てきた
<<53と違うけどずばり不等式証明問題

<<54
マクローリン展開そのものは出せないけど、有限個の項で打ち切って不等式で挟めば出せそうだから絶対に出ないとは言い切れないかもしれませんね
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56 ななしのよっしん非表示

2016/03/05(土) 21:35:35 ID: GTgVbVSDYt

ちなみに入試問題でe≦2.72を示したいなら

f(x)=e^(-x)-(1-x+x^2/2!-x^3/3!+x^4/4!-x^5/5!+x^6/6!-x^7/7!)とおく。
f(x)のn回微分をf^(n)(x)と表記。

1～7回微分f^(1)(x),f^(2)(x),f^(3)(x),f^(4)(x),f^(5)(x),f^(6)(x),f^(7)(x)について、
f(0)=f^(1)(0)=f^(2)(0)=f^(3)(0)=f^(4)(0)=f^(5)(0)=f^(6)(0)=f^(7)(0)=0

また8回微分f^(8)(x)=e^(-x)>0
これよりf^(7)(x)は単調増加となる。
このこととf^(7)(0)=0よりx>0でf^(7)(x)>0が示される。

同様にしてx>0でf^(6)(x)>0,f^(5)(x)>0,f^(4)(x)>0,f^(3)(x)>0,f^(2)(x)>0,f^(1)(x)>0,f(x)>0が示される。

x>0でf(x)=e^(-x)-(1-x+x^2/2!-x^3/3!+x^4/4!-x^5/5!+x^6/6!-x^7/7!)>0より
x>0でe^(-x)>1-x+x^2/2!-x^3/3!+x^4/4!-x^5/5!+x^6/6!-x^7/7!

これにx=1を代入して
1/e>103/280(計算略)
これよりe<280/103<2.72となり示される。
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57 ななしのよっしん非表示

2016/03/05(土) 22:04:54 ID: GTgVbVSDYt

ちなみに>>55の東大の問題でもe<2.72は一応示せるね。

問題中の証明すべき式(1+1/x)^x<e<(1+1/x)^(x+1/2)について、
右側の(1+1/x)^(x+1/2)は単調減少でeに収束するから（むしろこれを証明する問題なんだけどね）、適当な大きめのxを持って来れば原理的に計算は可能。

例えばx=11とすると、e<(1+1/11)^(11+1/2)=(12/11)^11.5=(12/11)^11・√(12/11)=2.71999…<2.72となって理論上は証明可能

ただし計算が非常にシビアで面倒（↑は電卓使いました）

手計算でやりたいなら、(12/11)^11・√(12/11)<2.72を示すために
√(12/11)<2.72・(11/12)^11が示せればよいね。

√(12/11)≒1.044465936…、2.72・(11/12)^11=1.044467027…だから（電卓使用）、
開平計算と11乗計算が正確にできれば何とかなるかも

√使いたくないなら2乗の比較で12/11=1.{09}（{}は循環節で手計算でもわかるね）、
2.72^2・(11/12)^22=1.090911371…（電卓使用）

ここから√(12/11)<2.72・(11/12)^11⇔(12/11)^11.5<2.72よりe<(12/11)^11.5<2.72にもっていければいいんだけど

自分は手計算できる気がしなかった

前述の通り単調減少だから概ねx>11の代入で証明できそうだから、試しにx=12.5としてe<(1+1/12.5)^13=(13.5/12.5)^13=(27/25)^13=1.08^13なら手計算できるかな？とやってみた
何とかできて2.72より小さいこと示したけど計算に滅茶苦茶時間かかった…（二項展開して後悔したレベルの計算量）

ちなみに(1+1/x)^(x+1/2)は(1+1/x)^x（こちらは単調増加でeの定義式）より収束がいいね。
(1+1/x)^x<eでx=11としてもせいぜい2.6<eくらいしか示せず…

ちなみに0<α<1/2だとx>0で(1+1/x)^(x+α)は単調にはならないみたいなので（excelで調べただけですが）、単調増加・減少になるギリギリの値を用いた式ということでよく考えられた問題だと思いました。
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58 ｎの３乗非表示

2016/08/09(火) 20:19:18 ID: 4IorH4Sf5G

テトレーションでは自然対数を使うと、どうやら上手く計算が進められる模様
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59 ななしのよっしん非表示

2016/10/19(水) 18:16:43 ID: GLj8a5oRi1

>>51
多分打ち間違いについてだと思う……ごめん何で質問したか忘れた。

三進法で自然対数の底を表記したらどうなるの？
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60 ななしのよっしん非表示

2016/10/19(水) 19:48:46 ID: Dm90GeF5QN

>>59
3進法で e=
2.20110112 122 110 201101222210 201102122220 1202222210 21221
2020 112 1122 211 1000 120222211 210 210 201002202022200201201
0001 11202221202010 2020 10000 1211 10101 210 11220211111112 122
020220212 2202 0011110 2020 101100210 211 001 210 001...
好きなだけどうぞ http://www.wolframalpha.com/input/?i=BaseForm%5BN%5BE,+1000%5D,+3%5D
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