単語記事: 集合

編集

集合とは、

  1. 集まること。または、ものの集まり。
  2. 数学で用いられる抽的な概念。本稿で記述。

概要

皆さんは、ニコニコ動画動画を見る際に、どのようにして的の動画アクセスするだろうか。方法のひとつとして、キーワードタグ検索するというものがある。検索結果は、ある条件に該当する動画一覧になっているものである。このような一覧を、動画の「集まり」として見ることができる。この「集まり」を、数学では「集合」といい、それに属しているものを「要素」または「元」という。検索結果を例にとると、その検索結果に表示されている動画が元にあたる。

集合は、単にものの集まりであればよいというわけではなく、「何が属していて、何が属していないのかがはっきりしていること」と「2つの元が同じものか違うものかがはっきりしていること」が必要である。たとえば、「もっと評価されるべき動画からなる集合」は、「もっと評価されるべき」という基準がはっきりしていないので定義できない。しかし「『もっと評価されるべき』というタグのついている動画からなる集合」は、タグがついているかついていないかで区別できるため、定義できる。ただ、タグは時間とともについたり外されたりするものなので、これも厳密には定義できないとも考えられる。時間を固定すれば問題ないことだが。

日本数学教育では高校数学Aで初出。それでも「こんなのもありますよ」程度で済まされることが多い。しかし、大学に行くとこれでもかと言わんばかりに頻発する。大学では具体的な数や図形なども扱うが、さらに抽的な対を扱うことも多くなる。それらを記述するためには集合の概念が不可欠である。特に、数学基礎論においてはくてはならないものである。場合によっては、集合そのものに「構造」を定義し、「間」として扱うこともある。

簡単な概要と具体例

集合の例として、例えば次のようなものが挙げられる。

集合を作っているひとつひとつのことを要素、あるいは元(げん)と呼ぶ。

数学世界集合と呼ばれるためには「が考えても同じ」になっている必要がある。そのため「俺の嫁集合」というのは人によって変わってしまうので数学的には集合ではない。

表記法

集合は大文字アルファベットで表記することが多い。集合族(集合集合)は太字で表記したり、特殊な文字を使ったりする。元について表記する場合は{ }でくくる。括弧内には元を具体的に列挙するか、元を表す記号とそれの満たす条件を|(縦線)で区切って書く。例えば次のとおり。

  • {…,-2,-1,0,1,2,…}
  • {x|xは整数}

前者のほうが具体的に書くことができるが、元の個数が限である場合(集合という)、すべてを列挙することは不可能集合の元の満たす条件が複雑な場合は、後者のほうがよりスマートに書ける。また、「○○全体の集合A」という言い回しがよく用いられる。実際、上の例はどちらも整数全体の集合である。これによって「aは○○を満たす」を「aはAに属する」と言い換えられ(逆もまた)、条件についての表記を集合の表記に言い換える手段として用いられるのである。(後述する記号を使えば、もっと簡単に書ける)

よく使う集合

集合
要素をまったく持たない集合記号では∅を用いる。その性質から、あらゆる場面に登場する。
全体集合
考察する対全体からなる集合。構造を定義して間と呼ぶ場合もある。記号は、分野や筆者の書き方によって異なるが、XやAを用いることが多い(編集者の経験則)。特に、次の集合には固有の記号が割り当てられている。
N自然数全体の集合
Z整数全体の集合
Q有理数全体の集合
R…実数全体の集合
C…複素数全体の集合

記号

集合同士や要素との関係を表す際に、独特な記号を用いる。ここでは記号についてまとめる。アルファベット文字集合とする。

帰属
aがAに属すること。a∈Aと書く。
包含
Aの元がすべてBに属すること。A⊂Bと書く。
相等
A⊂BかつB⊂Aを満たすこと。A=Bと書く。
集合
AとBの少なくとも片方に属している元全体の集合。A∪Bと書く。
共通部分
AとBの両方に属している元全体の集合。A∩Bと書く。
集合
Aに属さない元全体の集合。Acと書く。
集合
Aに属して、かつBに属さない元全体の集合。A\Bと書く。(\はバックスラッシュ)
直積
Aの元とBの元の組(a,b)全体の集合。A×Bと書く。
べき集合
Aの部分集合全体の集合族。2Aと書く。

集合の大きさ

集合の大きさを表す尺度として様々なものが考え出されている。

包含関係による大小関係

A=Bのとき、AとBは大きさが等しく、A≠BかつA⊂Bのとき、Aのほうが(に)小さい、というもの。直観的でわかりやすいが、具体的な数値で表すことができない上、すべての集合べられるわけではない。

濃度

集合の元の個数の概念を、集合にまで拡したもの。「大きさを表す尺度」というと、これを思い浮かべる人も多いだろう。Aの濃度を記号では|A|や#Aと書く。

AとBのそれぞれの元全体を、1対1に対応させることができるとき、AとBの濃度は等しいといい、|A|=|B|と表す。AとBは対等である、とも言う。AとBが対等でなく、かつAと対等なBの部分集合が存在するとき、AはBより濃度が(に)小さいといい、|A|<|B|と表す。|A|=|B|または|A|<|B|であるとき、|A|≦|B|と表す。

濃度による較はあらゆる集合に対して行うことができる。A⊂Bのときは|A|≦|B|が成り立つため、包含関係による大小関係ともある程度対応している。(A=Bなら|A|=|B|だが、逆は一般には成り立たないので注意。)

集合限というだけで一緒くたにされがちであるが、濃度では明確な違いがある。例えば、NRは濃度が異なり、|N|<|R|であることが知られている(参照:可算無限と非可算無限)。このように、限にも大小があるのである。Nと対等な集合を可算、もしくは可算無限集合という。ZQ可算無限集合である。可算でない集合非可算無限集合という。RCがその例であるが、もっと濃度が大きいものも存在する。ちなみにRCは濃度が等しい。

可算無限集合は濃度でいうと集合の中では最小である。それどころか、非可算無限集合から見ると、可算無限集合はほとんど見えないようなものである。限は有限にべて、べものにならないくらい途轍もなく大きいものであるが、非可算無限可算無限にも同じことが言えるのではないだろうか。

測度

長さや面積等を、一般の集合に拡したもの。

線分の長さや面図形の面積間図形の体積は、それ自体が図形の大きさを表す尺度と考えることができる。これを、間内の様々な部分集合に適用することを考える。これが測度の最初の考えであり、ルベーグ測度と呼ばれるものにつながる。

一般に測度とは、これを抽化、一般化したもので、現在までに様々な測度が考え出されている。可測間という、測度の定義できる集合族を設ける必要があり、かつ次の条件を満たさなければならない。

ちなみに、前述した濃度は、測度のひとつとして考えることができる。

同値関係

「ある属性が同じ」という関係。=は論のことだが、他にも命題の同値(偽が同じ)、整数合同(余りが同じ)、図形の合同(形と大きさが同じ)や相似(大きさを視して形が同じ)、ベクトルの0以外のスカラー倍(それを含む直線の方向が同じ)、集合の対等(濃度が同じ)、位相間の同相や線形間の同(構造が同じ)等がある。

一般に、集合Xで定義される関係「~」が次を満たす時、~を同値関係という。

  • 反射:すべてのa∈Xに対して、a~a。
  • 対称:a,b∈Xに対して、a~bならばb~a。
  • 推移:a,b,c∈Xに対して、a~bかつb~cならばa~c。

同値類

同値関係~の定義された集合Xと、その元aに対して、次のようなXの部分集合を考えることができる。

[a]:={b∈X|b~a}  (Xの元で、aと同値なもの全体の集合

これをaの同値類という。次の3つの命題偽は一致する。

  • a~b
  • [a]=[b]
  • [a]∩[b]≠∅

つまり、2つの元の間に同値関係が成り立てば、同値類が全く同じ集合になり、同値関係が成り立たなければ、同値類は全く交わりを持たない集合になる。この性質により、X全体を同値類によって分割することができる。Xの同値類全体の集合をX/~と表記する。

例えば整数集合Zに同値関係~を「a~b :⇔ a-bは3の倍数」で定めると、
Z/~ = {[0], [1], [2]}, 
[0] = {…,-9,-6,-3,0,3,6,9,…},
[1] = {…,-8,-5,-2,1,4,7,10,…},
[2] = {…,-7,-4,-1,2,5,8,11,…}
となる。

関連動画

関連項目


【スポンサーリンク】

携帯版URL:
http://dic.nicomoba.jp/k/a/%E9%9B%86%E5%90%88
ページ番号: 4549259 リビジョン番号: 2300597
読み:シュウゴウ
初版作成日: 11/01/21 03:26 ◆ 最終更新日: 15/12/14 23:34
編集内容についての説明/コメント: 概要を少し修正。
記事編集 / 編集履歴を閲覧
このエントリーをはてなブックマークに追加

この記事の掲示板に最近描かれたお絵カキコ

お絵カキコがありません

この記事の掲示板に最近投稿されたピコカキコ

ピコカキコがありません

集合について語るスレ

1 : ななしのよっしん :2011/06/14(火) 21:36:00 ID: n0aDSRHErA
なんだこの本格的な記事!?驚愕)すげえw
2 : ななしのよっしん :2011/07/23(土) 13:23:21 ID: rGXeHTE3d7
相変わらず数学記事は大だなwww
3 : ななしのよっしん :2012/01/26(木) 22:51:37 ID: wi+sgNodnS
うわああああああああああああああああっ!
4 : ななしのよっしん :2012/02/24(金) 01:03:08 ID: 0j31eu0L8N
集合と聞いて8時ダヨ!全員集合!とか書こうとしてごめんなさいorz
5 : ななしのよっしん :2012/09/11(火) 07:19:03 ID: oQY6NcerfU
なるほど、まったくわからん
6 : ななしのよっしん :2015/05/06(水) 02:51:25 ID: 3G2CfWiumM
{, , みかん} ←これも集合
7 : ななしのよっしん :2015/06/03(水) 02:22:33 ID: iY9DW2oe6u
大百科数学記事の分かりやすさは異常
8 : ななしのよっしん :2015/10/14(水) 18:02:55 ID: 0lmZqsJQGh
何で商集合は載せてないんだ?
N/2Nとか
9 : ななしのよっしん :2015/10/14(水) 23:05:56 ID: nVn7wBR5sl
載ってるじゃん。
10 : ななしのよっしん :2015/10/16(金) 11:51:55 ID: kbkFub4Q2F
まずは
∅, {∅}, {{∅}}, {∅,{∅}}, {∅,∅}
が分かっているかどうかやな。
ニコニコニューストピックス
  JASRAC許諾番号: 9013388001Y45123
  NexTone許諾番号: ID000001829