ニコニコ大百科

当たりの扉が3つ中2つあって、自分はAの扉を選び司会者がBの扉を開けたとする

Bの扉が当たりだった場合
Aのままなら勝率66%
Bを選べば勝率100%
Cを選べば勝率33%

Bの扉がハズレだった場合
Aのままなら勝率100%
Bを選んだら勝率0%
Cを選んだら勝率100%

やべ、上の例だとAもCも勝率50%だった

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そもそも何で扉100枚だと98枚開けてもらえるの？
3分の1なんだから33枚じゃないの？

まず文章をよく読みなさい
おかしいなと感じても条件反射で書き込むんじゃなく自分で答えを探しなさい
それでもよくわからなかったら質問しなさい

>>154
「全体の1/3を開ける」のではなく「選ばれなかった扉のうち、1つを除いた残り全てを開ける」と考えているから。

元々の問題でははずれのドアを"1枚"あけるとしか言ってないから何枚増やしても開けるのは1枚だけだろ
…と個人的には思っている

多分だけど、変更が許されるタイミングで残ってるドアの枚数を揃えて考えさせたかったんだろう
因みにはずれのドアが増えたとき、公開するはずれのドアの枚数が何枚であっても変えたほうが得になる

一度分かってしまえば
色々視点が変わって面白い問題

人は自分で選んだ扉を正解だと思ってしまって
実は選ばなかった扉の方に正解がある確率の方が高いとは考えにくいんだな
ご丁寧に司会者がハズレを除外してくれるんだから、変更した方が賢い

確かに3つの中から1つを選ぶ(33%)のが2つの中から1つを選ぶ(33%→50%)だと恩恵がそこまで極大じゃないから実感がわかない人が多いと思う
だから上の100から1つ(1%)が2つに1つ(1%→50%)になる例えはすげーとおもう。さすがに誰も、自分が一発で当たりを引いたとは思いにくいだろうしね。

ただ現実的な話、もし自分の最初に選んだのが当たりだった場合の悲しみも計り知れない、という感情面でのリスクはあるがw

>>159
それは典型的な勘違いやで
答えを変更した場合、選択肢が３つの場合は確率が33％→66％に
選択肢が100の場合は確率が1％→99％に上昇する
どうしてそうなるのかはもう一度この記事を読んでくれ

よく勘違いされる点だけど、司会者が当たりを知っているかどうかは実は全く関係ないんだよね。
事故で扉が開いたとしても「結果として選んでない扉のうち一つが外れということが分かる」ことが重要。
そこらへんもこの問題をややこしくしている一因かも。

>>159
変な例えだが、例えば100Lの塩水があったとして
Ａ、そこから1L汲みだした塩水
Ｂ、残りの99Lから水分だけを蒸発させ、1Ⅼに濃縮したもの
さて、ＡとＢ、塩分が多いのはどちらだろうか

>>161
いやいや
当たりの扉が開く可能性がある中で、ハズレの扉がたまたま開いてしまうのと
当たりの扉を無視して、確実にハズレの扉を選んで開くのは違うからね？
前者の場合、扉の選択を変えても確率は変わらない

>>163
前者でもあっても、その事故後に「私も正解は知りませんし、どうせだから扉を変えてみますか？」と聞かれたなら変えたほうがいい。

前者の場合もアクシデントで開いたのだから「1回目の回答の結果を見て扉を開けるか開けないかを決める誰かの意志」は入っていない。なので、それが起こってしまいなおかつ開いた扉がハズレだった瞬間に「2/3の確率で当たる扉」がその場に発生する。
(確率が変わらないのは「扉を破壊して結果を見ない」という場合)

ゴールから逆算で考えると分かりやすいぞ

「回答を変える」と決め込んで選択する場合、
最終的に正解になるには最初の3択で「ハズレを選ぶ」事が必要になる。
この場合、2/3の確率で最終的に正解できる。

「回答を変えない」と決め込んで回答する場合、
モンティが問うてくる内容は一切関係しないので、
純粋に最初の3択で当たるか否かの問題になる。
つまり1/3でしか正解できない。

なので回答は変更した方がいい。

>>164
Aの袋が1つと、Bの袋が2つがあり、Aには黒のボールが2つ、Bには赤と黒のボールが1つづつ入っているとする
(A:(黒,黒)　B:(赤,黒),(赤,黒))
何も見ずに3つの袋から1つ選び、その中からボールを1つだけ取り出したら黒だった
このとき、ボールを取り出した人は、AとBどちらの種類の袋を選んだ可能性が高いか
ちなみに君の言い分だとBを選んだ可能性が高いということになる

司会者が答えを知らずに開けるパターンっていうのは「出題者ではなく出題された側が開ける」と置き換えても本質的には同じこと
そう考えると「開けた扉がハズレだったとしても残った２つの扉のどちらに当たりがあるか確率は変わらない」ってことが分るはず
どちらに当たりが入っている可能性が高いか判断する要素がないから

>>166
その場合確率はＡが1/3×1でＢが「（1/3×1/2）×2=1/3）」
だからＡとＢは同じ確率になるな。だが、それは同じ問題ではない。

>>168
納得できないのならばこの場合もドアを100枚に増やして考えてみたらいい
「当たりを知らない」司会者が開けた98枚の扉が「偶然」全てハズレだった場合、最初に選んだ扉が当たりの可能性が1/100で残ったもう１枚の確率が99/100であると思うか？
どちらを選んでも1/2だと直感的にわかるだろ？

>>169
寧ろ扉を増やしたことで1/100vs99/100だと余計思う

まず、初めに1枚扉を選んだ時、これはは単純に1/100で不変。
その後、偶然だろうと必然だろうと「扉が98枚開けられて、『それら全てがハズレという結果を観測した』」ならばその時点で「モンティが98枚の扉を開ける過程で正解の扉を開けてしまう未来」はもう消え去ってるわけだから、残った扉は「モンティが正解を開けなかった世界線上の未来にある扉」に変化している。

>>168
なぜ違うと思うの？
赤を当たりの扉、黒をハズレの扉、ボールを取り出す人が司会者と考えれば全く同じだよ
モンティ・ホール問題の場合、初期状態は（赤、黒1、黒2）
ここからプレイヤーがボールを一つ引いたとき、考えられるパターンは(黒1、黒2)　(赤、黒1)　(赤、黒2)の３つ
更に司会者がもう一つボールを取り、余った一つはプレイヤーが選択を変更した場合にもらえるボールになる
ここで、司会者が引いたボールは黒なのだから、
「司会者がボールを取る前が(赤、黒)である確率」＝「プレイヤーが選択を変更した場合に当たりを引く確率」となる

まあこんな回りくどいことを考えなくても、>>167が簡潔に説明してくれてるわけだけれども

司会者が知らないで開けた場合。
その扉が当たりだったらどうするのかって話だよね。

司会者が当たりを引く可能性もあるんだから、その分プレイヤーの当たる確率は減る。（というか増えない。つまり3分の1のまま。）
そうじゃなくて、当たりを引いたらやり直しっていうんなら、当たりを知ってるのと同じことになる。

一方で司会者が知ってる場合。
司会者がはずれを確実に排除してくれるから、プレイヤーの当たる確率が増える。


でいいんだよね？

>>170
>>167との複合技で最初から残す扉をプレイヤー本人が決めておくと分かりやすいよ
最初に決めた扉が当たりである確率は1/100　残すと予め決めておいた扉が当たりである確率も1/100で確率の比は１：１だろ？
残りの98/100はなんだって言われそうだけど、それは開ける98の扉に当たりがある確率（この部分が司会者が答えを知っている場合との違い）

>>173
>>172とそのレスを読んで、ようやくどこに認識の差があるか解った
そっちは「司会者が当たりを引いてしまい、その時点でプレイヤーの当たる確率が0になってしまう場合」を外れる確率の中に含めてしまっているからそういう結論になるわけだ。(>>164でいう、結果を見ずに扉を破壊する場合と同値)

俺が>>164で書いたのは「残り99枚のうち98枚の扉が開き『それら全てがハズレだと<≺解った時点で>>』扉を変えるかと聞かれた場合」
この<≺解った時点>>にいるプレイヤーを、最初に扉を選ぶ前の時点から見ると「開けた扉が偶然全てがハズレだったという、2/100の確率(プレイヤーが初手で当たりを引くか、プレイヤーがハズレを引きかつモンティが開けるドア全てを外すかの2パターン）で到達できる未来」にいることになる。

>>173
Ａ→Ｍ→Ｂの順で3人で当たりが1本入っているくじ3本を引く時、当たる確率は全員1/3である。だが、これを正確に言うと。
・Ａは当たりは1/1の確率で残っているくじ3本から1本を引くので1×1/3=1/3
・Ｍは当たりは2/3の確率で残っているくじ2本から1本を引くので2/3×1/2
=1/3
・Ｂは1/3の確率で当たりが残っているくじ1本から1本を引くので1/3×1=1/3

この時、Ｍだけ先に自分のくじを見て「これはハズレだった」と報告すると
・Ａは当たりが1/1の確率で残っているくじ3本から1本を引くので1/3×1=1/3
・Ｍは当たりが2/3の確率で残っているくじ2本から1本を引いたがＭはハズレだった
・Ｂは1本から1本を引くがＭがハズレだと判明したため、Ｂが引いた時点で当たりのくじは2/3の確率で残っていたことになる、よって2/3×1＝2/3
ということで、偶然でも必然でも観測した時点でモンティ・ホールになる

>>174
外れの確率に含めてないよ　司会者が当たりを開けてしまったらシャッフルして問題の最初からやり直す
>>173のやり方はわかりやすくするために最初に決めておくという点がひっかかったのかもしれないけどこのやり方は本質的には最後に決めるのと同じことなんだよ（>>167を見てもらえばわかる）　だから認識は間違ってない

>>175
そのたとえを問題に当てはめたいなら順番ではなく３人同時にくじを引く必要がある

>>170で最初に選んだ扉が当たりの確率は1/100で不変だと主張しているけどそれがそもそもの間違い
「答えを知らない」司会者が「偶然」外れの扉を開けるたびに最初の扉が当たりの確率は1/99、1/98と上がっていき最終的に98枚を開けた時点で1/2になる　これが元となった問題との相違点

>>174
確かに司会者がハズレだとわかった場合には、「司会者が当たりを引いて云々」の可能性を含めてはいけない
しかし、プレイヤーが扉を選ぶ時点では、司会者が当たりを選ぶかハズレを選ぶかがわからないため、そのときの確率1/3には「司会者が云々」が考慮されている
そのため、司会者がハズレだとわかった瞬間に条件を変えて計算しなければならない

>>175
Ｍがハズレだとわかったあと、Ａの確率を1/3に固定している根拠は何？
Ｍは確実にハズレを引けるわけではなく、当たりを引く可能性がある中でハズレを引いたわけ
つまり、ここで求めなければいけないのは、Ｍがハズレの場合の「条件付き確率」
「条件付き確率」の大百科ページにも例題が載っていたから、もし暇ならば見てみるといい

具体的に計算すると
Ｍがハズレを引く確率は　(1/3)×1 + (2/3)×(1/2) = 2/3
Ａが当たりかつＭがハズレの確率は　(1/3)×1 = 1/3
よってＭがハズレの時にＡが当たる確率は　(1/3) / (2/3) = 1/2

モンティ・ホール問題の条件の場合、Ｍがハズレを引く確率は1なため
Ａが当たりの確率は　(1/3) / 1 = 1/3　で辻褄が合う

直観的にわかりやすいように、100本のくじで考えてみよう
更に、問題を単純化するため、Ａは50%の確率で当たりのくじを引ける能力を持っているとする
さて、Ａはくじを1つ引き、Ｍは何も見ずにハズレのくじを98本引き、Ｂは余ったくじを引いた
このとき、ＡとＢはどちらが有利か？

答えはAのほうが圧倒的に有利
なぜかというと、Ａが当たりだった場合、Ｍは98本のハズレのくじを確実に引けるのに対し
Ａがハズレだった場合、「何も見ずに98個のハズレのくじを引く」という行為は物凄く難度が高いことだからだ
つまり、Ｍが98個のハズレのくじを引くことに成功している時点で、逆説的にＡが当たりの確率が高いことがわかる
Ｍがハズレだとわかることによって、Ａが当たりの可能性は50%から変化することがわかるかな？

言葉で説明しても納得しないかもしれないから、以下の条件で10000回シミュレートしてみた

・Ａ→Ｍ→Ｂの順番で、3枚の扉をランダムに開ける
・ただし、Ｍが当たりを引いた場合はやり直し

結果は A: 50.79%, B: 49.21%
ソースは https://ideone.com/33YPtl

ああ、やっと解った、サンクス。
・Ａが当たりを引いている時、Ｍがハズレを引く確率は1/1
・Ａがハズレを引いている時、Ｍがハズレを引く確率は1/2
・なのでＭがハズレを引いたという事象が観測される状況は、Ａが当たりを引いている場合のほうが2倍起こりやすい

なるほどつまり
司会者がハズレを知ってる場合「変えない：33％」「変える：66％」となる当たり確率が
司会者がハズレを知らない場合「変えない：33％」「変える：33％」「司会者が当たってしまいやり直し：33％」
という風に変化するのね、やっと合点がいったわ。
この場合は変に例えを持ち出さない方が分かりやすいんじゃないか？ｗ