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可算無限と非可算無限単語

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可算無限とは、数ある限の中でも最も小さな限。

非可算無限とは、可算無限より大きな限。

概要

限にも大小がある。

結論から言えば可算無限とは自然数限のことである。自然数というのは1とか2とか3とか100みたいなごく普通の数のこと。スタンダード数学の範囲ではこれより小さい限は存在しない。これより大きい限が非可算無限であり、例えば実数限がこれにあたる。実数というのは自然数とか分数とか無理数を全部含んでるもののこと。

一つずつ説明していく。

濃度

集合どうしの大きさを較する尺度の一つに「濃度」というものがある。まず、集合の中に入ってるもの一つ一つのことを「要素」というが、有限集合ならその要素の個数を数えれば大きさの較ができる。例えば都道府県集合の要素の数は47。メンバー集合なら5。都道府県の方が大きい。世の中に有限集合しかないならそれでいいが、自然数とか実数とかみたいな集合の場合は要素の個数を数えても数え終わらない。そこで「要素の個数」という概念を集合でも扱えるように拡したものが「濃度」である。つまり「濃度=個数」と読み替えてしまってここでは差し支えない。

2つの無限集合どうしの濃度を比較する

小学校運動会限玉入れが今終わった。組のカゴには限個、白組のカゴには限個の玉が入っている。まさにこの玉入れの玉を数える要領で、集合どうしの濃度を較することができる。すなわち、一個ずつ同時に数えていって(玉と白玉のペアを一組ずつ作っていって)、最終的に余った組の濃度の方が大きい、ということである。

...(限)...  
白組 ...(限)...

ハイというわけで組の勝ち。組の玉の集合の方が大きい。別に白組の玉が有限というわけではない。限どうしだけど、一つずつペアにしていってみたら組の方が余ったよ、ということである。たまにはそういうこともある。逆に言えば、過不足なくペアを作れるならば、二つの集合の濃度は等しいということになる。

※次節の例からもわかるように、正確には「大きい」ではなく「大きいか、等しい」である。つまり組は白組に「勝った」のではなく、「勝ちか引き分け」。

自然数の濃度

前述の通り、自然数の濃度は数ある集合の濃度の中で最も小さい。しかし自然数より個数の少ない集合なんていくらでもありそうに思える。たとえば3の倍数。これも限にある。

自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ....
3の倍数 3 6 9 12 ....

こうして見ると明らかに3の倍数の方が少ない。自然数の三分の一しかない。・・・ように見える。しかし次の表だとどうだろう。

自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....
自然数×3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 ....

この表の下の段と、さっきの表の下の段は全く同じものである。だって自然数を3倍したものが「3の倍数」なんだもの。あたりまえだ。

どの自然数でも3倍すると3の倍数になる。どの3の倍数でも1/3すると自然数になる。これはつまり自然数と3の倍数は過不足なくペアを作れるということにほかならない。あぶれる数はない。すなわち自然数の濃度と3の倍数の濃度は等しいということである。

これはほかの全ての自然数列にもあてはまる。偶数でも、奇数でも、10の倍数でも、一億の倍数でも、三数でも、方数でも、階乗数でも、その濃度は自然数の濃度と等しい。

それどころか、自然数より個数が多そうな整数や分数の濃度も、この考え方を使えば自然数と同じ濃度であることが示せる。いろいろ対応のさせ方があるが、例えば次のようにすればよい(参考 - カントールの対関数exit)。

自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....
整数 0 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 ....
自然数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....
(正の)分数 1/1 1/2 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5 1/6 ....

この自然数の濃度のことをして「可算濃度」、その限のことを「可算無限」という。「可算」というのはつまり1つ、2つ、3つ、というに番号づけして数えられるという意味である。英語ではcountable。しかし「数えられる」というと暗に「数え終われる」というニュアンスを含んでいるとして、「可付番」と呼ばせる向きもある。英語でも同じで、「listable」という言葉を使いたがる人もいる。

実数の濃度

ここまで見てくると、じゃあ全ての限が自然数限と同じなんじゃないの?という気がしてくる。しかし実数限の方が大きいのである。これはつまり、自然数実数のペアを作っていくと実数の方が余る、ということである。

対角線論法

自然数実数のペアを作っていってみる。全ての実数を考えるのはちょっとしんどいので最初は0以上1未満の実数を考える。実数小数として表せるので、0以上1未満のところには0.1415926...とか0.7320508...とかそれこそ0.5000000...(すなわち0.5のこと。0.4999999...でも同じ)みたいのが大量に存在している。これらの実数なんとかして全部順番に並べた列を作れたとする。

0.1415926...
0.7320508...
0.5000000...
0.3247195...
0.6180339...
0.7182818...


小さい順じゃなくてもいい。ていうか実数を一つずつ小さい順に並べるなんてことはできない。実数には隣の数がないからである。例えば円周率πの隣の数を見出すことはできない(3.1415...だから3.2? いやいやじゃあ3.15は? だったら3.142は? となって限に続く)。じゃあどういうに並んでるかというと、テキトーである。テキトーでも、とにかく実数を全部こうやって列にすることができたと仮定して話を進める。

ここで対線の位置にある数字に注する。

0.1415926...
0.7320508...
0.5000000...
0.3247195...
0.6180339...
0.7182818...


これらの数字を「0.」の後に並べて「0.130731...」という数を作る(上の実数の列はまだまだ限に下にも続いているためこの数も小数になる)。

次にこの「0.130731...」の小数点以下の各桁の数字において、1のときは0に、それ以外のときは1にする。すると「0.011110...」という数が出来上がる。ここでの作業は別になんでもいい。2のときに0でそれ以外を2にするとかでもいいし、偶数なら1、奇数なら0にするとかでもいい。とにかく全ての桁が元の数とは違う数字になっていればいい。

ではこのできあがった「0.011110...」という数は一体なんなのか。この数は実は、全ての実数を並べたはずの列のどこにも存在しない新しい数なのである。どういうことか。並べて見てみよう。

0.011110...←新しい数

0.1415926...
0.7320508...
0.5000000...
0.3247195...
0.6180339...
0.7182818...


この数は、1行の数とは小数点第一位で異なる。2行の数とは小数点第二位で異なる。以下同文。100に並んでいる数となら小数点第100位で異なる。どこまで行ってもこの数の入るスキマはない。なぜならそうなるように作った数だから。

この状況はまさに先ほどあげた「限玉入れ」の例と同じである。

自然数 実数
1 0.1415926...
2 0.7320508...
3 0.5000000...
4 0.3247195...
5 0.6180339...
6 0.7182818...
限に続く)... 限に続く)...
 
!? 0.011110...

自然数実数のペアを一組ずつ作っていこうとしたら実数の方にどうしても余る数ができてしまった。これはつまり実数の方が自然数よりも濃度が大きい、ということにほかならない。

いまは0以上1未満の数だけでやってみたが、これが1以上2未満だろうが100以上101未満だろうがすべての実数の範囲において状況は同じである。かくして実数の方が濃度が大きいことが明された。(大ざっぱに。ごまかしながら。この記事においては。)この対線を使った明法のことを「カントールの対角線論法」といい、かの有名なゲーデルの不完全性定理明などでも使われている。

この実数の濃度、またはそれ以上の濃度のことをして「非可算濃度」、その限のことを「非可算無限」という。実数の濃度のことを特に「連続体濃度」ともいう。また、自然数限の濃度のことを「アレフ0(レベル0、ぐらいの意味。「アレフノート」、「アレフヌル」、あるいは「アレフゼロ」と読む)」、その次に大きい限の濃度のことを「アレフ1」という。アレフ2、アレフ3・・・というのも存在して、どんどん限が大きくなってゆく。

連続体仮説

自然数限より実数限の方がレベルが大きいというのはこれまで説明してきた通りである。しかし、自然数限に対して「一段階」大きいやつが実数限である、ということには疑問の余地がある。もしかしたら2段階とか、100段階大きいのかもしれないということである。自然数限と実数限の中間の濃度を持つ限が存在するかもしれない、ということであるともいえる。

19世紀に人類で初めてこの疑問を抱いたのが、この記事三度の登場となるゲオルグ・カントールその人である。彼が提唱したのは「そんな中間の濃度の限は存在しないよ!」ということであり、この仮説を連続体仮説という。これは長らくフェルマーの最終定理に匹敵するほど重要な未解決問題であった。

しかし1963年、この問題は一応の解決を見る。く、「中間の濃度が存在することは明も反もできない」。つまりそんな濃度が存在したとしても別に矛盾はしないし、存在しなかったとしても矛盾しない、ということが数学的に厳密に明されたのである。

関連書籍

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関連項目

掲示板

  • 101ななしのよっしん

    2018/03/04(日) 02:32:09 ID: 6jw8hRqVaA

    対角線論法が成り立つ為には当然数列の桁数と列数が同じでないといけない
    例えば4桁の数列なら列数も4列でないとそもそも対リストにならない訳で
    でも使う数字を0と1に限定しても作れる数列のパターンは16通りあるから
    リストに含められる数列は実際に作れる数列の極一部という事になる
    当然「桁数=列数=限」な実数の対リストに含められる実数も、
    同様に実際に存在しう実数の極々一部のはず(だから「新しい実数を作る」操作も可)
    一方自然数限で対リストを作るとしたら、
    1.00…
    2.00…
    3.00…
    という形にすれば全部の自然数が対リストに収められる
    …と考えると「数字の操作」をやらなくても自然数限<実数限と言えそうな気がする

  • 102ななしのよっしん

    2018/12/19(水) 08:13:07 ID: 5iQGywTcLC

    >>当然「桁数=列数=限」な...(中略)...実数の極々一部のはず
    極々一部だからといって必ずしも個数(正確には濃度)が違うとはいえない
    例えば自然数有理数の極一部だが濃度は等しい
    この「部分と全体が一対一対応する」という性質にはあのガリレオもそれ以上考えることをやめたとかなんとか

  • 103ななしのよっしん

    2019/08/20(火) 09:29:08 ID: 2tsR16se+v

    数学漫画の『はじめアルゴリズム』にこの手の話が出てきたけど
    主人公少年が直感で「連続体仮説ってどっちでもいいんじゃ?」という回答に辿り着くなどしてかなり加速した展開になっている

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最終更新:2020/02/23(日) 08:00

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