ニコニコ大百科

記事作成お疲れ様。

この記事って群の定義については細かく書いてあるけど、「で、結局何に使うの？」って感じがする。数学辞典とかならそれでもいいんだけど、ニコニコ辞書でやる意味ってあるのかね？

>>2 書きたいから書く、それでいいだろ。

群・環・体ってよく聞くけどよく分かってない自分

ちなみに∀や∃を論理式以外で使うのはあまり勧められるものではないらしいね

群の定義ってのは教科書とかにも載ってるのを見るけど、その定義を満たすから一体何なのかってのが全然分からずにいる。自然対数みたいにそう定義するのが便利ってだけなのかな？

組みひも群などの例を挙げてみてもいいかもしれない
http://www.f.waseda.jp/murakami/jugyou/2003/kikagakuB1/print526.pdf
群の公理だけ眺めても、「で、結局整数のことじゃん」ってなっちゃうだろうから…
あと、全体的に書き方が数学屋向けで堅苦しいと思うんで、もう少し噛み砕いて書いてくれる人いないかなぁ(´・ω・`)

群が一番良く出てくるのは「変換」だよ。
というか群の概念自体が元々「変換」から出てきた。
ルービックキューブの回転とか、あみだくじ（対称群）もそうだし、組みひも群もそう。

ガロア理論でしょ。

群に対して何か定理（準同型定理とか）を示せば、群である様々な例に対してその定理を使えるようになる。それが抽象化のありがたみじゃないかな。
整数だけで考えても整数のことしかわからないけど、整数を群だと思うことでスッキリ理解できることもある。

要は、演算を定義することで数字に限らず「計算」を一般化した概念と考えておｋ？

計算って何？演算と作用のこと？だったら広すぎる。
群は二項演算の入った代数的構造のうち、比較的扱いやすいものに共通する性質を3つの公理(記事参照)の形で
抽象化した構造であって、これが「計算」を一般化したものなんです！なんてシロモノでは全くないと思うぞ。

群じゃない数学構造なんていくらでもあるし。半群とか調べてみ。
公理入れ替えれば色々作れる。2項演算に限る必要もないしな。数学の自由度なめちゃいかん。

そんなに怒らなくても
一段階くらい一般化したものと考えてもいいんじゃないかな

怒ってねえよ。一段階とは？

やっぱ怒ってんじゃん
小学校で習った足し算引き算は演算という物の一種ですよっていう一般化なのでは

怒ってるね

うぜえ。

>>15
一般化というか抽象化な。「一般化」は「自然数における加減乗除の演算を実数全体に一般化して定義する」
のように定義や命題が適用される範囲を拡大するときに使う。
「抽象化」は数学の場合、公理の数を減らすこと。元が整数にせよ実数全体にせよ、群にするには、
乗法に関する公理、分配法則、順序に関する公理、アルキメデス性、自然数の公理と色々減らさないといけない。

うん、よく解ったよ
他山の石って言葉の意味が

知識があっても伝達能力がなきゃ何の役にも立たないんだな・・・俺も気をつけよ

対象がアニメとかじゃなく数学ってだけで細かいことでグチグチ言ってくるタイプの閉鎖的キモヲタそのものだな

計算の一般化というと基礎論畑の自分にはチューリングマシンとか再帰的関数とか思い浮かべてしまう。

たぶんそんな難しいもんじゃなくて、要は足し算とか掛け算の「演算」が満たす性質を抽出して、それを条件として集合に付与してあげてる感じ。やってること同じなんだけど。
整数は加法に関して群を成すとかそういうものは「群の構造を見出せるね」というだけの話であって、具体例ではあるけれど構成したものではない。

構成するとなると、まず第一に集合Xを持ってきてあげる必要がある。
そこにさっき述べた「演算」という写像µ:X×X→Xを入れる。この場合演算のアリティは2ね。
そのアリティ2の演算が群の公理(結合律、単位元律、逆元律)を満たすようにしてあげる。
そうすると群になる。

こうして見ると「計算の一般化」と思うにはだいぶ突飛に見えるよね。
やっぱり歴史にもある通りに回転とか置換とか対称性とかから引っ張ってくるのが丸いのかな。
代数方程式の根の関係とか回転とか図形の対称性から群の構造を見出された経緯がある(歴史的には代数方程式の研究が早い)から、そっちの方がわかりがいいかもしれない。

ものすごく大雑把に言えば、同種とみなせるもの(演算)を集めた時にすべてが均質とは限らず、部分部分で文字通り「グループ」を作ったり作らなかったりするので、それによって演算の構造とか対称性を分析できるというのが群論。
単純な例として分かりやすいのが二面体群。正方形に対して形を変えずに頂点だけ入れ替える操作を群で解釈すると「何もしない」を含めて全部で8つの操作ができるのだが、この中に中心で図形を回転させて四回転で元に戻るというグループと、対角線で反転させるというグループの２つが見て取れる。
前者は全頂点が入れ替わるのに対して後者は二つだけが入れ替わるので、同じ頂点の移動でも二つの種類は本質的に別物。そしてこの二つを混ぜれば必要なことは全部できる。つまり「正方形の頂点置換」というグループは、実は「図形の回転」というグループと「図形の反転」というグループの二つの組み合わせでできていると理解できることになる。
さらに回転は4つ、反転は2つのループになるが、これが8の約数なのは偶然ではなくラグランジュの定理で部分群の位数の性質が説明される。
こんな風に構造から演算の性質を捌けるのが群の基本的な考え。

物理でリー群とかヤング図とかウェイトとかイミフで辞めたくなりますよ~群論（半泣き）