不完全性定理単語

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不完全性定理とは、ゲーデルが1931年に発表した定理である。

概要

この定理には

第一「再帰的で(ω)矛盾自然数論を充分に表現できる形式系は全ではない.」

第二「再帰的で矛盾自然数論を充分に表現できる形式系は自分自身の矛盾性を明できない.」

の二つがある。

(以下、理論=形式系、仮定=公理=論理式(命題)とする。)

要約すると

一つは、どんな数学理論にもその理論の中で表現できるで正否の判定ができないものが存在する。

この例として、ZFに対する選択公理、ZFC(ZF+選択公理)に対する連続体仮説などが存在する。

二つは、数学理論矛盾性はその理論又はそれより強くない(より多くの仮定を含まない)理論からは示せないということ。

このことから、理論Aにbという仮定を付け加えた理論A+bがあるとき、A+bからAの矛盾性が示せれば、bはAでは明できないことが分かる。

 

ゲーデルは、数学理論をそれ自体の中で(自然数を使って)表現することで、「この命題明できない」と解釈できる命題理論内で表現しこの二つの定理明している。この技法(ゲーデル数化)は現在でいうところのコンパイルなどに相当する(論理式(プログラム)->機械語という意味で)。

チューリングマシンの停止問題は、この不完全性定理をコンピュータの用に置き換えたものである。

この定理数学情報科学、さらには哲学などにも大きな衝撃と影を与えた。

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不完全性定理

27 ななしのよっしん
2017/10/22(日) 13:29:33 ID: BTuDM6A7wv
それは難しいな…
最大の急所かつ難所は、「数学それ自体」と「数学の形式系」の違い。
この定理は「数学の形式系」についての定理であって、「数学それ自体」についての定理ではない。
(大体、数学それ自体についての数学定理なんてものはあり得ない)
この区別を曖昧にすると、トンデモ解釈に引きずり込まれる事になる。

じゃあ形式系ってのは何なんだ?というと、これがまた説明しづらいんだよな…
28 ななしのよっしん
2018/02/03(土) 14:15:30 ID: FGWZJc9sMr
これなあ・・・名前だけ有名だけど、実際には門外に聞かせて面がってもらえるような定理じゃないんだよ、全然
たまに愉快な拡大解釈してファンタジーな事書いてる一般向け解説書あるけど、本来ものすごーくテクニカルな話だから

とりあえず一般向けの本に「数学が不全であることが示された」等と書いてあったら、それは間違い
これは>>27で言われてる通りで、実は数学ってのは世間一般に思われてるほど輪のハッキリしたものではない
ある意味では、数学が不全であることなんか最初から分かりきっていた
また「人間ロボット本質的な違いが明らかになった」と書いてあったら、それも間違い
この定理が言ってるのは要するに「これこれのルールゲームを進めると、これこれのプレイは実行出来ないと判明しました」という、ただそれだけの話なの
採用されてるルールが問題なのであって、プレイヤー人間ロボットかなんて関係ない
ルールを変更すれば、出来ることも出来ないことも変わる
29 ななしのよっしん
2018/02/20(火) 20:09:40 ID: yx0hA3vCyF
いのは定理自体じゃなくてそこに至る過程の方。
アリストテレスライプニッツ、フレーゲ、ラッセルときて論理義が手に負えなくなり、ブラウワーみたいな過激派を出した後に、ヒルベルトが「数学実在とか置いといてゲームにしちゃえばゲーム内の自己明はできるやろ」と言い出す思想的な流れのオチを付けたのが不完全性定理だから、定理自体はわりとどうでもいいと思う。
ラッセル1+1=2明とか、排中絶対殺すマンとか、ヒルベルトのテーブル椅子コップの相互関係の話とか、面い要素はたしかに転がっている。
30 ななしのよっしん
2018/02/20(火) 22:02:55 ID: 0ydfkR3j9V
形式系の話をするときは「明」という単を「生成」に置き換えることをお勧めする

不可能定理がある」だと誤解の危険が生じるが
「生成不可能記号配列がある」ならも誤解しない
31 ななしのよっしん
2018/05/15(火) 19:40:46 ID: rPnvq5PwI3
あんまり良くわかってないんだけど、
- 「PAではか偽かが定まらない命題が存在する」
ではなくて、
- 「意味はであるが、明木を組み上げる方法がない命題が存在する」
っていうことであってる?
32 ななしのよっしん
2018/05/17(木) 16:42:54 ID: 0ydfkR3j9V
「私の明木を組み上げる方法はない」と自分自身でしている命題が存在するって事ね

表面的には「ある性質を持つ自然数は存在しない」と言っているにすぎないのだが
ある性質ってのを数学的に翻訳すると自己言及命題として解釈できる、ということ
33 ななしのよっしん
2019/01/20(日) 21:18:26 ID: s+H+BN2e90
他の人も言ってるけど基礎論を学ばずに理解しようというのは困難だよ。要約は割と実かなぁ。
一つは「決定不能命題の存在」の事をいってて、言ってることは第一不完全性定理よりも広いね。
二つは基礎論ではかなり重要で、この定理不可能性の定理のように書かれるけど、定理の適用条件を満たしたある2つの公理系(理論)をその強弱で並べられる可性を示してるんだよ。
34 ななしのよっしん
2019/01/20(日) 21:31:20 ID: s+H+BN2e90
後、ロビンソン算術やPA(ペアノ算術)は数学の体系としては弱いから、それ自身の中に自身では明できない算術命題が存在することは意外じゃないかもしれないよね。でも集合論を扱えるZFCPAを含んでいてそれよりも強い体系。しかもコンセンサスで数学のほぼ全体を形式表現可と信じられてる。でも、ZFCにもこの定理は成り立つから明できない算術的命題が存在するわけね。
これは意外かもしれない。
35 ななしのよっしん
2019/08/02(金) 03:25:26 ID: /XAzNIopTx
たった今これについての教科書を読み終わった......
昔からこれの乱用みたいなものを見てきたが、人文学の人に気をつけて欲しい点がはっきりした

・「数学明」と「形式体系における明」は根本的に次元が違う
不完全性定理の前提は「算術を含む形式体系で〜」だからこれは算数についての定理といった方がいい
・「命題数学的に明可」「形式体系で論理式の明が存在する」「形式体系内で『論理式の形式体系明が存在する』ことを意味する論理式の明が存在する」これは全部本質的に別の不完全性定理は3つの弱点をついたもの

他にもいろいろ言いたいことあるが人文学の方々には最低限上の3つを全に理解してから使って欲しい
この定理は悟性や知性や理性の存在や現学的地や懐疑義や精や決定論や実在論や倫理的価値や判断や合理義やトロッコ問題について何らの知見をもたらすものではありません
36 ななしのよっしん
2020/01/02(木) 04:42:41 ID: zj0ZWSl8Wl
ゲーデルの定理 利用と誤用の不ガイド(日本語2011年発売)
https://www.msz.co.jp/news/topics/07569.htmlexit

大学図書館に置いてあったが結局読まないまま卒業してしまった本
なお一介の数学科生にどこまで読みこなせたかは不明の模様

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2020/02/29(土)21時更新