不完全性定理単語

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不完全性定理とは、ゲーデルが1931年に発表した定理である。

概要

この定理には

第一「再帰的で(ω)矛盾自然数論を充分に表現できる形式系は全ではない.」

第二「再帰的で矛盾自然数論を充分に表現できる形式系は自分自身の矛盾性を明できない.」

の二つがある。

(以下、理論=形式系、仮定=公理=論理式(命題)とする。)

要約すると

一つは、どんな数学理論にもその理論の中で表現できるで正否の判定ができないものが存在する。

この例として、ZFに対する選択公理、ZFC(ZF+選択公理)に対する連続体仮説などが存在する。

二つは、数学理論矛盾性はその理論又はそれより強くない(より多くの仮定を含まない)理論からは示せないということ。

このことから、理論Aにbという仮定を付け加えた理論A+bがあるとき、A+bからAの矛盾性が示せれば、bはAでは明できないことが分かる。

 

ゲーデルは、数学理論をそれ自体の中で(自然数を使って)表現することで、「この命題明できない」と解釈できる命題理論内で表現しこの二つの定理明している。この技法(ゲーデル数化)は現在でいうところのコンパイルなどに相当する(論理式(プログラム)->機械語という意味で)。

チューリングマシンの停止問題は、この不完全性定理をコンピュータの用に置き換えたものである。

この定理数学情報科学、さらには哲学などにも大きな衝撃と影を与えた。

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不完全性定理

30 ななしのよっしん
2018/02/20(火) 22:02:55 ID: 0ydfkR3j9V
形式系の話をするときは「明」という単を「生成」に置き換えることをお勧めする

不可能定理がある」だと誤解の危険が生じるが
「生成不可能記号配列がある」ならも誤解しない
31 ななしのよっしん
2018/05/15(火) 19:40:46 ID: rPnvq5PwI3
あんまり良くわかってないんだけど、
- 「PAではか偽かが定まらない命題が存在する」
ではなくて、
- 「意味はであるが、明木を組み上げる方法がない命題が存在する」
っていうことであってる?
32 ななしのよっしん
2018/05/17(木) 16:42:54 ID: 0ydfkR3j9V
「私の明木を組み上げる方法はない」と自分自身でしている命題が存在するって事ね

表面的には「ある性質を持つ自然数は存在しない」と言っているにすぎないのだが
ある性質ってのを数学的に翻訳すると自己言及命題として解釈できる、ということ
33 ななしのよっしん
2019/01/20(日) 21:18:26 ID: s+H+BN2e90
他の人も言ってるけど基礎論を学ばずに理解しようというのは困難だよ。要約は割と実かなぁ。
一つは「決定不能命題の存在」の事をいってて、言ってることは第一不完全性定理よりも広いね。
二つは基礎論ではかなり重要で、この定理不可能性の定理のように書かれるけど、定理の適用条件を満たしたある2つの公理系(理論)をその強弱で並べられる可性を示してるんだよ。
34 ななしのよっしん
2019/01/20(日) 21:31:20 ID: s+H+BN2e90
後、ロビンソン算術やPA(ペアノ算術)は数学の体系としては弱いから、それ自身の中に自身では明できない算術命題が存在することは意外じゃないかもしれないよね。でも集合論を扱えるZFCPAを含んでいてそれよりも強い体系。しかもコンセンサスで数学のほぼ全体を形式表現可と信じられてる。でも、ZFCにもこの定理は成り立つから明できない算術的命題が存在するわけね。
これは意外かもしれない。
35 ななしのよっしん
2019/08/02(金) 03:25:26 ID: /XAzNIopTx
たった今これについての教科書を読み終わった......
昔からこれの乱用みたいなものを見てきたが、人文学の人に気をつけて欲しい点がはっきりした

・「数学明」と「形式体系における明」は根本的に次元が違う
不完全性定理の前提は「算術を含む形式体系で〜」だからこれは算数についての定理といった方がいい
・「命題数学的に明可」「形式体系で論理式の明が存在する」「形式体系内で『論理式の形式体系明が存在する』ことを意味する論理式の明が存在する」これは全部本質的に別の不完全性定理は3つの弱点をついたもの

他にもいろいろ言いたいことあるが人文学の方々には最低限上の3つを全に理解してから使って欲しい
この定理は悟性や知性や理性の存在や現学的地や懐疑義や精や決定論や実在論や倫理的価値や判断や合理義やトロッコ問題について何らの知見をもたらすものではありません
36 ななしのよっしん
2020/01/02(木) 04:42:41 ID: zj0ZWSl8Wl
ゲーデルの定理 利用と誤用の不ガイド(日本語2011年発売)
https://www.msz.co.jp/news/topics/07569.htmlexit

大学図書館に置いてあったが結局読まないまま卒業してしまった本
なお一介の数学科生にどこまで読みこなせたかは不明の模様
37 ななしのよっしん
2020/07/31(金) 21:38:38 ID: YuVZdP7f7j
>>35
数学赤点スレスレだった文系からすると、最後の「この定理は悟性や~トロッコ問題について何らの知見をもたらすものではありません」という部分は一応理解できるけど、
数学的に解説された部分(「数学明」~3つの弱点をついたもの」)はほぼ全く理解できなかった・・・。納得しがたいとかじゃなく自分の知識不足のせいで、数学を片っぱしからググっても理解できない。
もっとレベルを落としたこの↓解説は、辛うじて理解できたと思う。この解説が数学的に正しいのかは判別できないけど。

117 ななしのよっしん 2016/05/15(日) 12:13:53 ID: Sz3r49k6A3
不完全性定理は「数学で用いる論理を含み、自然数理論が展開でき、その公理系、推論規則を実際に与えることができるような形式的体系では、その体系が矛盾であれば、肯定も否定も明できない(決定不能)ような命題(その体系で形式化された論理式)がある」という定理

つまり不完全性定理は、数学内の形式体系(=数学基礎論の一)で成立
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
38 ななしのよっしん
2021/02/02(火) 11:07:46 ID: 0OFcIKVMzj
不完全性定理の誤った説明は大体次に由来する:
1. 「再帰的」「全」「理論」「矛盾」などの言葉が数理論理学で正確に定義されているにも関わらず、それらを用いずに「数学理論」などの既存の教科書には出てこないような意味不明瞭のオリジナルワードを持ち出してくる人が多いこと。
2. メタ明と形式的体系上の「明」の区別をできていない人が多いこと。後者の「明」は前者を形式的体系上で形式化したもの。また、前件肯定やΣ1全性定理のようなメタすらもペアノ算術PA(のRE拡大)の内部で形式化されるという理解が曖昧な人が多いこと。

2を理解していれば、第二不完全性定理はいわば、第一不全性の明をPA(もっというとΣ1論理式に対する帰納法の公理図式を持っていれば良い)の内部で形式化することで明される、ということがわかるはず。
ちなみに、【この方法】による第二不完全性定理明は形式化された(Σ1論理式に関する)数学的帰納法を用いるので、数学的帰納法公理図式を全く持たないロビンソン算術Qに対して【この方法】を適用することができない。
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
39 ななしのよっしん
2021/02/08(月) 19:03:23 ID: MSU/AwZjSn
>>38
すみませんお手上げっす
>>37
不完全性定理は「数学で用いる論理を含み、」→まぁ何とか分かる
自然数理論が展開でき、」→ギリギリ分かるかも・・・
「その公理系、推論規則を実際に与えることができるような形式的体系では」→お手上げ

「つまり不完全性定理は、数学内の形式体系(=数学基礎論の一)で成立する定理」→へえ、じゃあ他の体系では成立しないの?
「TA(=True Arithmetic)やプレスバーガー算術や「実閉体の理論」といった数学体系では成立しない」→かなり分かりやすい!
「それくらい狭く限定的で、他の数学体系や哲学との関係が少ない定理」→そういうことかぁ

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