贋金と天秤単語

ガンキントテンビン
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贋金と天秤(がんきんとてんびん)とは、秤を使って贋物(にせもの)の貨を探すパズルである。

概要

贋金と天秤は、いく枚かの貨に混じっている、本物とは重さが異なる贋物を、秤ばかりを限られた回数だけ使用して特定するパズル

なお、本稿ではこのパズルを「贋金と天秤」として扱うが、「秤とコイン」「偽の貨と秤」「8枚のコイン」「秤問題」「贋鑑定問題」など様々な呼び名がある。また、貨ではなく塊や分とするものもあるが、いずれもパズルの内容は同じ。

8枚の金貨

贋金と天秤のパズルは、1945年、E.D.Schellがアメリカ数学誌『American Mathematical Monthly』で提起したものがはじまりとされる。そのパズルは以下のような問題であった。


8枚の貨があり、うち1枚は本物より軽い贋物である。

秤ばかりを2回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

解答は下記(反転)。

まず、秤ばかりに貨を3枚ずつ載せて重さをべる。どちらかに傾けば、軽かったほうの3枚に贋物が混じっている。釣り合えば、載せていない2枚のどちらかが贋物である。

次に、贋物が混じっているグループから貨を1枚ずつ選び、秤ばかりに載せて重さをべる。どちらかに傾けば、軽かったものが贋物である。釣り合えば、載せていないものが贋物である。

秤ばかりは、1回の操作で「左<右」「左=右」「左>右」の3通りの情報のうち1つをもたらす。言い換えれば、1回操作するたびに補は1/3に絞られていく。すなわち、本物より軽い贋物が1枚だけ混じっている場合、N回の操作で最大3N枚の貨の中から贋物を見つけ出せることになる。上記の問題も、秤を2回使うのであれば、最大で32=9枚の貨の中から贋物を判別可である。しかし、3の倍数の9ではなく、あえて2や4の倍数の8とすることで、3枚ずつ載せて較するという発想が得にくいよう工夫されている。

13枚の金貨

8枚の貨のパズルの発展形として、H.D.Grossmanがアメリカ数学誌『Scripta Mathematica』で、12枚の貨のパズルを提起した。これは後に13枚の貨のパズルとして発展した。

13枚の貨があり、うち1枚は贋物である。

贋物の重さは本物とは異なるが、本物より軽いか重いかは分からない

秤ばかりを3回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

前問より難しいので、ヒントを掲載する(反転)。

本物と確定した貨をうまく活用するとよい。たとえば、秤ばかりの一方の皿に本物のみを載せて傾いたなら、もう一方の皿には贋物が混じっており、それが本物より軽いのか重いのかが分かる。

解答は下記(反転)。

説明のために、13枚の貨それぞれをABCDEFGHIJKLMとして区別する。

まずは、秤ばかりに貨を4枚ずつ、ABCDとEFGHを載せて重さをべる。

  • ABCDがEFGHより軽かった場合、軽かったほうの4枚(ABCD)に軽い贋物が混じっている、もしくは重かったほうの4枚(EFGH)に重い贋物が混じっている。また、載せていない5枚(IJKLM)はすべて本物である。
    次に、秤ばかりにABCEFとIJKLMを載せて重さをべる。
    • ABCEFが軽かった場合、ABCのいずれかが軽い贋物であるので、AとBべればよい。
    • ABCEFが重かった場合、EFのどちらかが重い贋物であるので、EとFべればよい。
    • 釣り合った場合、Dが軽い贋物、もしくはGHのどちらかが重い贋物であるので、GとHべればよい。
  • ABCDがEFGHより重かった場合、上記と同様に考えればよい。説明は割愛する。
  • ABCDとEFGHが釣り合った場合、載せていない5枚(IJKLM)に贋物が混じっている。また、秤ばかりに載せた8枚(ABCDEFGH)はすべて本物である。
    次に、秤ばかりにIJKABCを載せて重さをべる。
    • IJKが軽かった場合、IJKのいずれかが軽い贋物であるので、IとJべればよい。
    • IJKが重かった場合、IJKのいずれかが重い贋物であるので、IとJべればよい。
    • 釣り合った場合、LMのどちらかが贋物であるので、LとAべればよい。

先述したように、秤ばかりは1回の操作で「左<右」「左=右」「左>右」の3通りの情報のうち1つをもたらし、1回操作するたびに補は1/3に絞られていく。3回操作すると(1/3)3=1/27にまで絞れる。また、n枚の貨の中に、軽いか重いか分からない贋物が1枚だけ混じっている場合、答えは2n通り(1枚が軽い贋物、1枚重い贋物、2枚が軽い贋物、…)ある。この2nが27をえなければ、秤ばかり3回の操作で贋物を判別可だと言える。上記の13枚の貨のパズルは、答えが2×13=26通りあり、27をえていないので、秤ばかりを3回使うことで贋物を見つけ出せることが分かる。同様に考えると、秤ばかりを2回使ってよい場合は最大4枚、4回使ってよい場合は最大40枚、N回使ってよい場合は最大(3N-1)/2枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。

派生

贋金と天秤のパズルは、いくつかのパズルが考え出されているので紹介する。

複数枚の贋金

贋物が2枚以上混じっているパズル。たとえば以下のようなものが知られている。

7枚の貨があり、うち2枚は本物より軽い贋物である。

秤ばかりを3回使って贋物を見つけるにはどうすればよいか。

解答は下記(反転)。

説明のために、7枚の貨それぞれをABCDEFGとして区別する。

まずは、秤ばかりに貨を3枚ずつ、ABCとDEFを載せて重さをべる。

  • ABCがDEFより軽かった場合、ABCの3枚と載せていないGの併せて4枚の中に、軽い贋物が2枚混じっている。
    よって、AとBを載せて重さをべ、AとCを載せて重さをべればよい。
  • ABCがDEFより重かった場合、上記と同様に考えればよい。説明は割愛する。
  • ABCとDEFが釣り合った場合、ABCのいずれか1枚と、DEFのいずれか1枚が贋物である。
    よって、AとBを載せて重さをべ、DとEを載せて重さをべればよい。

n枚の貨の中に、軽い贋物がr枚混じっている場合、答えはnCr=n!/(r!(n-r)!)通りある。もし、このnCrが33=27をえていると、秤ばかり3回の操作では贋物の判別が不可能だと考えられる。上記の7枚(うち贋物2枚)の貨のパズルは、答えが7C2=21通り(1枚と2枚が贋物、1枚と3枚が贋物、1枚と4枚が贋物、…)であり、27をえていないが、もし8枚(うち贋物2枚)の貨のパズルであれば、答えは8C2=28通りあるので、秤ばかりを3回使うだけでは贋物を見つけ出すことができないと分かる。

最大枚数と最少回数

贋物を見つけ出すためには秤ばかりを最少何回使えばよいか、あるいは、最大何枚の貨の中から贋物を見つけ出せるかを問うものもある。パズルというよりは数学の問題に近い。解答は先述したが、めて以下にまとめる。

  • 本物より軽い贋物が1枚混じっている場合、秤ばかりをN回使えば、最大3N枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。
    • 秤ばかりを1回使えば3枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。以下、秤ばかりを2回使えば9枚、3回使えば27枚、4回使えば81枚、5回使えば243枚、6回使えば729枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。
  • 本物より軽いか重いか分からない贋物が1枚混じっている場合、秤ばかりをN回使えば、最大(3N-1)/2枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。
    • 秤ばかりを2回使えば4枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。以下、秤ばかりを3回使えば13枚、4回使えば40枚、5回使えば121枚、6回使えば364枚の貨の中から贋物を見つけ出せる。
    • 貨が2枚(本物1枚と贋物1枚)しかない場合は、どちらが贋物なのか判別できない。

袋に入った金貨

貨が袋に入っているパターンパズルも知られているので紹介する。

10gの貨が10枚ずつ入った袋が10個ある。

しかし、11gの贋物だけが入った袋が1つ混じっているという。

はかりを何回使えば贋物の袋を見つけられるだろうか。

解答は下記(反転)。

はかりを1回使うだけでよい

1番の袋から1枚、2番の袋から2枚、…9番の袋から9枚をそれぞれ取り出して、45枚を同時に量る。もし結果が451gであれば、1番の袋の貨が贋物である。452gであれば、2番の袋の貨が贋物である。459gであれば、9番の袋の貨が贋物である。そして、450gであれば、1枚も取り出していない10番の袋の貨が贋物である。

このパズルは重さをはっきりとさせていることが特徴で、贋金と天秤のパズルを下敷きにした一種のひっかけ問題と考えることもできる。なお、贋物の袋の個数が不明なパターンもあるが、考え方は似ているため、説明は割愛する。

ひっかけクイズ

贋金と天秤のパズルに関するひっかけクイズも知られている。

8枚の貨があり、うち1枚は本物より軽い贋物である。

秤ばかりを最少何回使えば贋物を見つけられるだろうか。

本来の答えは、上で述べたように2回であるが、この場合は次のような答え方もある(反転)。

  • 1回:1枚ずつ秤ばかりに載せれば、運が良ければ1回で特定できるから。
  • 0回:秤ばかりを使うまでもなく、手に取っただけで分かるほどの、明らかな重さの違いがあったから。

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贋金と天秤

1 ななしのよっしん
2016/06/04(土) 22:08:13 ID: XHn4c5DDCf
よくまとまっている良記事
記事作成乙
2 ななしのよっしん
2017/09/16(土) 09:16:48 ID: nptV+4cOTv
定の回数よりも少なく判別できるパターンがあってもおkなら
7枚の貨に2枚の贋物の問題はこの手順でいける気が

7枚の貨それぞれをABCDEFGとして区別

1.秤に貨を2枚ずつABとCDを載せてべる

2-1.ABがCDより軽かった場合、AとBをべる
2-2.ABが釣り合えば両方が贋作確定。
2-3.ABが傾けば軽かった方と贋作でEFGに一枚贋作確定なのでEとFをべる

3.ABがCDより重かった場合、CDべる(ry
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
3 ななしのよっしん
2017/09/16(土) 09:34:36 ID: W0ra5+Oef+
4-2 ABがEFより軽いときは贋作はABとCDそれぞれに一枚ずつやで
4 ななしのよっしん
2017/09/17(日) 20:26:12 ID: 61BYHgqsYz
ひっかけパターンに「居合わせている関係者に吐かせてしまえば、その1手で解決する」というのもあったような。どこだったかな?
5 ななしのよっしん
2017/09/24(日) 22:44:52 ID: gDy6utuWcg
10gの貨が1000枚ずつ入った袋が10個ある。
しかし、11gの贋物だけが入った袋が少なくとも1袋混じっているという。
贋物だけ入った袋がいくつあるかは分からない。
はかりを何回使えばすべての贋物の袋を見つけられるだろうか。

「袋に入った貨」はこんな感じのバリエーションもあった。
6 ななしのよっしん
2017/09/24(日) 22:49:09 ID: Co/kVZurmH
>>5
ですね。
記事にも一応「贋物の袋の個数が不明なパターンもある」と記載していますが
考え方は似ているので説明は割愛させていただきました。

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2019/08/19(月)05時更新