帰納的定義と一般項
SNNN数列は次の様に帰納的定義ができる。n∈N(自然数集合)
S1=37, Sn+1=10Sn+7
これについて一般項を求める。
Sn+1=10Sn+7 ─①
①と②の辺々の差を考えると
Sn+1+7/9=10(Sn+7/9)
数列{Sn+7/9}は初項{S1+7/9}=37+7/9=340/9(=37.77777…)、公比10の等比数列である。
以下等比数列の一般項の求め方より
以上より、SNNN数の一般項は(34*10n-7)/9で求められる事が分かった。
素数判定
SNNN数の集合には素数がいくつあるかをUDKの代わりに考える。
関連動画およびその後の調査により、次の事が分かっている。
S1=37 (prime)
S2=13 x 29
S3=3 x 1259
S4=37 x 1021
S5=19 x 59 x 337
S6=3 x 3 x 419753S7=37 x 181 x 5641
S8=13 x 953 x 30493
S9=3 x 1259259259
S10=37 x 19609 x 52069
S11=377777777777 (prime)
S12=3 x 47 x 4657 x 5753221
S3k
S3kの項を見てみると、全て素因数に3を持っている。
S3kは"3"と"3の倍数個の7"で構成されている。3の倍数の判定法より、S3kが3の倍数であるとすぐに分かる。
一応、ここに帰納法を用いた証明を記しておく。
帰納法を用いて証明する為、Tn=S3nと置く。
T1=S3=3777=3*1259なので、T1は3の倍数である。
さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき
SNNN数の帰納的定義より、
Tk+1=S3k+3
=10S3k+2+7
=100S3k+1+77
=1000S3k+777
=1000Tk+3*259仮定よりTkは3の倍数であるので、Tk+1で成り立つ。 ∴ S3kは3の倍数
よって、S3kは合成数である事が分かる。
S3k-2
S3k-2の項を見てみると、全て素因数に37を持っている。
37の倍数判定法はあまり知られていないので、先程と同様の手法で証明する。
帰納法を用いて証明する為、Tn=S3n-2と置く。
T1=S1=37なので、T1は3の倍数である。
さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき
SNNN数の帰納的定義より、
Tk+1=S3k+1
=10S3k+7
=100S3k-1+77
=1000S3k-2+777
=1000Tk+37*21
よって、S3k+1も合成数である事が分かる。
ただし、S1=37に限っては素因数を37しか持たない為素数である。
S3k-1
S6k-4
S6k-4の項を見てみると、全て素因数に13を持っている。
13の倍数判定法を用いてもよいが、一応先程と同様の手法で証明する。
帰納法を用いて証明する為、Tn=S6n-4と置く。
T1=S2=377=13*29なので、T1は13の倍数である。
さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき
SNNN数の帰納的定義より、
Tk+1=S6k+2
=106S6k-4+777777
=106Tk+13*59829仮定よりTkは13の倍数であるので、Tk+1で成り立つ。 ∴ S6k-4は13の倍数
よって、S6k-4も合成数である事が分かる。
S6k-1
S18k-13
S18k-13の項を見てみると(上の表ではn=5しかないが)、全て素因数に19を持っている。
19の倍数判定法を用いてもよいが、一応先程と同様の手法で証明する。
帰納法を用いて証明する為、Tn=S18n-13と置く。
T1=S5=377777=19*59*337なので、T1は19の倍数である。
さらに、n=kの時成り立つと仮定すると、n=k+1のとき
SNNN数の帰納的定義より、
Tk+1=S18k+5
=1018S18k-13+777777777777777777
=1018Tk+3*3*7*11*13*19*37*52579*333667
徐々にややこしくなっているが、ポイントとなるのは「レピュニット」と呼ばれる、1を並べてできる数である。wikipediaにはレピュニットの素因数分解が与えられているので、それをヒントに今後も解くことができるかも知れない(適当)
後は各自でやって、どうぞ。
SNNN数の研究
理系ホモによる飽くなき研究心によってSNNN数は日々多くの人に認知されつつあります(巨大嘘)
未解決問題
解決済み
関連動画
参考リンク
関連項目
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