ニコニコ大百科

ドアを変更するかどうかを聞かれた時点で、「三つのドアのうちどれかを選ぶ」という問題から「二つのドアのうちどちらかを選ぶ」という問題に変わるので、変更しようがしまいが二分の一だと思う。

分かったが、最初はやはり変えなくていいよなって考えが浮かぶし、正解が分かってもその感覚がぬぐえなかった。
当時きっぱりと自分の正しさを主張できたマリリンさんすげえ。

「選びなおさずそのままAの扉」
「選びなおした結果、前と同じAの扉を選んだ」
は、意味が違うってことなのかな

それは意味がない
これは要は何がどうあれ司会者が残した扉を選択したほうが当たる確率が高いってことなんだから

選択者が最初に偶然にもアタリを選んだ場合
司会者が残す扉はいずれにしてもハズレで、この確率が1/3
選択者が最初にハズレを選んだ場合
司会者は必ずアタリの扉を残すわけで、その確率が2/3ある
つまり選びなおすと倍の確率でアタリを引けるわけさ

確率は半々だと勘違いしてる人は
選択者が最初に選択した後に司会者が選ぶ扉は
選択者が最初にアタリを引いた場合でなければ必ずアタリである
この部分を見落としてる

選びなおさない場合：そのまま1/3
選びなおす場合：司会者が開けた扉と合わせて実質２つの扉を開けられるから2/3
ってことなのかな

私はAの扉を選び、司会者はBの扉がハズレであることを公開した。

確率は半々である、という人の気持ちも分かる。
「Bが正解である可能性」が消えたから、ということだろう。
だが、「Aが正解だが、司会者がCをハズレだと公開する可能性」も同時に消えている。

Aが正解である可能性も（Cと比較すると）減っているのだ。

「ドアを100個に増やしたら一目瞭然だよね〜」っていう説明は詐欺臭いから誰も納得しないよなw

確率の基本だけど、逆を考えると実感がわくかもね。

あたりを1つ選ぶということは、ハズレを2つ選ぶということ。
ドアA,B,Cの内2つ選んで除外する。この時にハズレを2つとも選ぶ確率と片方あたりである確率はどちらが高いかという問題の解釈なら一目瞭然だと思う。

ハズレとアタリひとつずつ持ってくる場合が2通り、ハズレのみの場合が1通りでハズレとアタリを持ってくる可能性の方が高い。
つまり、開けない方にアタリを選んでくる確率の方が高い。

もっと簡単に言うと、司会者は2つのドアを回答者は1つのドアを選べる状況では司会者の方がアタリを持ってくる確率が高いということ。

曲解すればそのままは「1/3」だけど、
「ドアを変更すると」事後確率から「1/2」になるからやっぱり変更したほうがいいよねって思う。

確率は行動により変動するって事か。

>>9
この場合だと、Aが当たりの場合は、司会者が開けるドアがBかCの2通りあるから
2通りにはならないの？
→A正解…2通り　B正解…1通り　C正解…1通り

たぶんどっか間違ってるのは分かってるけど、やっぱり納得できんｗ

自分は変えたほうがいいと素直に思っちゃったけどな
「モンティが外れの方の扉を開ける」
↓
じゃあ今目の前にある扉がハズレなら、変えた時必ずアタリになるんだな
↓
目の前の扉がハズレの扉である確率は2/3だよな
↓
じゃあ変えたほうが得だな


一見1/2の確率に思えてしまうけれど、一回目に選ぶ扉がアタリである確率よりハズレである確率の方が高いという所がミソだよな

記事がすごい読みやすくなってて吃驚
やっぱりこの問題って人気なんだな

>>40
自分が最初にAを選んでいるとき、
ABCのうちAが正解となり、かつ司会者がBCのうちのBを選ぶ確率は1/3×1/2=1/6
同様にして、Aが正解かつ司会者がCを選ぶ確率=1/3×1/2=1/6
よって扉を変えないほうがいい場合の確率は1/6+1/6=1/3

一方自分がAを選んでいてBが正解であった場合は、司会者は必ずCを選ぶから、確率は1/3×1=1/3
同様にして、Cが正解かつ司会者がBを選ぶ確率=1/3×1=1/3
よって扉を変えた方がいい確率は1/3+1/3=2/3
個人的には最初に選ぶ扉を固定するより正解の扉を固定して考える方が、ごちゃごちゃしなくて好き

ドアをめっちゃ増やしたときの例えが直感的に分かりやすすぎワロタ

エルデシュがこの問題を「間違えた」事は有名だけど実際は以下の通りだったんだそうだ。

世界中を旅していたエルデシュはモンティ・ホールの番組自体を知らず、
大まかな伝聞だけで誤った問題を聞いて（「司会者が適当に選らんだドアが外れだった場合変えたほうが良いか」という風に聞かれたたとか）
「そりゃ変えても変えなくても同じだろう」と答えて「間違えた」。
後にモンティ・ホールの番組を見たエルデシュは「これなら変えたほうがいいに決まってる」と即答したそうだ。

>>45
実際そうだったとしても
「あらあら子供みたいな言い訳しちゃってpgr」
としか思われないのが悲しいところ

ドアの数を100枚とし、回答者が最初に選んだドアをA、残り99枚のドアをまとめてBとする。
で、Bの99枚の内、ハズレの98枚を司会者が全部開けてくれるわけだ。

これは実質的に、最初から
「ドアを開くチャンスはAを選べば1回だけ、Bを選べば99回ですよ。どっちにします？」
と言っているに等しいんだよね。
そりゃあ勿論、たくさんのドアを開けられるBを選んだほうがいいさ。

モンティにも穴はあるんだよな・・・ｺﾞｸﾘ

ダメだやっぱりわからん。

AorBorCを選んだ→AorBorCが外れと宣言される

残ったAorBorCを選びなおすか否か


仮に同じ扉を選んだとしてもそれはもう一つの扉と同じ2/3であると思う。同じ扉でも二択から選びなおしていることは同じだよね？
変えるっていう表現がおかしいように思うんだ。変えなくても情報を得た以上選んでないもう一つの扉と同じ意味を持つと思うんだが。

1/3+2/3=1でFAな簡単な問題じゃん

確率の総和が１と言う前提があればらくしょー

もう少し詳しく書いてみる

1　最終的に選択者が取れる行動は選び直すか選び直さないかの二択
2　選び直さなかった場合最初の確率(1/3)が適応される
3　確率の総和は1。残りの選択肢は選びなおす一択なので1 - 1/3 = 2/3が適応される

怪しい伝説で実験してたなこれ

全通り書き出してみるのが分かりやすいと思ってやってみたけどどうだろう。

自分がAを選んだ場合を考える。

アタリがAである確率は1/3。
このとき開かれる扉はBかCの二択で、1/2ずつ。
その後選択を変えるかどうかは二択なので、1/2ずつ。

つまり
「Bが開かれ、ノーチェンジ（I）」、「Bが開かれ、Cに変更（II）」、「Cが開かれ、ノーチェンジ（III）」、「Cが開かれ、Bに変更（IV）」
の4通りが、それぞれ1/12の確率で起こることになる。

アタリがBである確率は1/3。
このとき開かれる扉は確実にC。
その後選択を変えるかどうかは二択なので、1/2ずつ。
「Cが開かれ、ノーチェンジ（V）」、「Cが開かれ、Bに変更（VI）」が1/6ずつ起こる。

アタリがCである確率は1/3。
このとき開かれる扉は確実にB。
その後選択を変えるかどうかは二択なので、1/2ずつ。
「Bが開かれ、ノーチェンジ（VII）」、「Bが開かれ、Cに変更（VIII）」が1/6ずつ起こる。

（I）～（VIII）の確率を足すと１になるので、最初にAを選択したときの可能性はすべて網羅している。
このとき、「ノーチェンジでアタリ」なのは（I）、（III）の2通り。確率を足すと1/6。
「変更してアタリ」なのは（VI）、（VIII）の2通り。確率を足すと2/6。

最初にB、Cを選んだときも同様。
よって、扉を変更したほうがアタリを引く確率が高い。

最初にハズレを引く確立の方が高い、っていう部分がみそなのかな？

当りのドアの数をm>=1、外れのドアの数をn>=2とする。

(i)変えない場合の当る確率はm/(m+n)　―A

(ii)変える場合の当る確率を考える。
　　最初に当りを引く確率はm/(m+n)、そこから変更して当る確率は(m-1)/(m+n-2)。
　　（当りが初期選択で一枚・外れがGMによって一枚公開されるから）
　　結果、最初当りを引き変更して当る確率は積だから[m(m-1)]/[(m+n)(m+n-2)]　―①

　　次に、最初に外れを引く確率はn/(m+n)、そこから変更して当る確率はm/(m+n-2)。
　　（当りは一枚も消費せず、外れは初期選択とGMによって二枚消費。）
　　結果、最初に外れを引き変更して当る確率は積だから(mn)/[(m+n)(m+n-2)]　―②

　　そして、変更して当る確率は①と②の和だから[m(m+n-1)]/[(m+n)(m+n-2)]　─B

ここで、AとBの大小を比べる。
AとBに(m+n)/m（前提より0以上である）をそれぞれ掛けた物をA'とB'とすると、

　A' = m/(m+n) * (m+n)/m = 1

　B' = [m(m+n-1)]/[(m+n)(m+n-2)] * (m+n)/m = (m+n-1)/(m+n-2)

ここで、B'の分子と分母の大小を比べると、分子>分母であるので、B'>1=A'である。
よって、当りのドア・外れのドアに関わらず、変更した方が当る確率が高い。

で、どうだろうか。

>>51
その説明は違うんじゃないか。
普通、「確率の総和が１」っていうのは、「Aが当たりである確率は1/3, B, Cも同様に1/3, 和は1」って感じで考えると思うんだけど、
>>51が言っているのは、「ドアを変えないという選択で当てる確率は1/3, 残りの当て方は『ドアを変えて当てる』という方法しかなく、それで当てる確率は1-1/3=2/3」ってことでしょ。
つまり、>>51は、「当てた」という結果が先にわかっていて、「ドアを変えずに当てたのか、ドアを変えて当てたのか」という事象に対する確率を話している。モンティ・ホールの勝者に出会ったとき、そいつがドアを変えて当てたのか、ドアを変えずに当てたのかということだ。
これは事後確率だ。「当てた奴がドアを変えてなかった確率」は求められない。もし、参加者全員が「変えたほうが勝てる」と知っていて、かつ合理的な選択をするなら、0になるわけだけど。

分からないと言っている人に助言。
このモンティーホール問題、『最初にハズレを選べば勝てるゲーム』です。

最終的には　当たり　と　ハズレ　の 2 択になります。
必ず別のドアを選ぶ事とすると、

・最初に当たりを選んだ奴　→　自動的にハズレ
・最初にハズレを選んだ奴　→　自動的に当たり

そして最初にハズレを選ぶ確率は 2/3 です。

プレイヤーがハズレを選んだ場合、モンティが残ったハズレを消し去ってくれるのがミソ。
つまりハズレを選んだ奴にだけ、もう片方が当たりだよと教えてあげてるのと同じ。

ドアの数が100枚だったら？って話でやっと理解できた
なるほど…

条件付き確率で求めることも出来る。

プレイヤーが選んだドアをA, プレイヤーが選ばなかったドアをB, Cとする。
モンティがBのドアを開ける確率は、正解がAのドアならばB, Cから偏りなく選び、正解がBならば0, 正解がCならば1で、これらのどの2つの事象も互いに背反であるため
1/3*1/2+1/3*1=1/2

正解がCでモンティがBのドアを開ける確率は、上述の通り正解がCならばモンティは必ずBのドアを開けるため、1/3

モンティがBのドアを開けたとき、正解がCである確率は、1/3/(1/2) = 2/3

正解のドアがどれであるかとモンティがどのドアを開けるかは独立ではない（関係がある）のだから、モンティがいずれかのドアを開けたという条件（結果）により、どれが正解であるかの確率も変わる。