可算無限と非可算無限
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ななしのよっしん
2014/08/25(月) 22:54:20 ID: C9iSnYZzN8
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なんでこんな記事作られたんですかね・・・
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ななしのよっしん
2014/08/25(月) 23:41:29 ID: u5TaM01eav
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ななしのよっしん
2014/08/26(火) 00:00:48 ID: 8XrYOIDGuD
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ななしのよっしん
2014/08/26(火) 15:37:50 ID: 6R0oKK5tPq
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読んでて気になった部分を挙げてみる。
濃度の比較のとこ、「濃度が等しい」はこれでいいんだけど「濃度が大きい」の説明はこれだとちょっとまずくて、
「AよりBの濃度の方が(真に)大きい」⇔「AとBの間で "どのようにペアを作っても" Bの元が余る」
というように、ペアの作り方に任意性を持たせないといけない。無限集合の場合は、余りの出ないペアの作り方があるからと言って、余りが出るようにペアを作ることができないわけじゃないからね。
あとアレフ数っていうのは無限基数に対して小さい順に番号(正確には順序数)を振っていったものなので、そもそも「連続体濃度はアレフ1である」という命題が連続体仮説そのもの。アレフ0とアレフ1の中間とかっていうのは最初からない。
あと比較的どうでもいい部分としては、数列(の値域)が可算無限っていうのは、狭義単調増加数列の値域、とかにしておかないとまずいとか、対角線論法のところで各桁に1を足すのは8が無限に並んでる場合に0.999...とかになって面倒だから9にならない変換にしようとか、その直後の奇遇で分けるやつ0と1が逆とか、まあそのくらいかな。 -
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ななしのよっしん
2014/08/27(水) 03:39:54 ID: 8XrYOIDGuD
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>>4
2番目の指摘に関してはつまり連続体仮説っていうのは「連続体濃度はアレフ2とかアレフ3とかではなくて、自然数の濃度の1コ次のやつが連続体濃度」っていう仮説ってことなのかな。だったら間違ってますね。無限に関する記事なのにフラクタル次元とかに触れられるの結構気に入ってたのに残念だけどこれはカットしないといけないね・・・
単調増加に関してはいきなり「単調増加」みたいな言葉出しても、あるいはそれをわかりやすいように説明しても、むだに説明が煩雑になるので書くのやめました。まぁ「ごまかし」の範囲内ってことで。例としてあげたやつ全部単調増加だしいいでしょってことで。
最後の指摘については全くもってもっともなので修正します。
最初の指摘についてはちょっとよくわからないのでもう少し説明してもらえると助かります。 -
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ななしのよっしん
2014/08/27(水) 08:02:11 ID: GtuaoFZTwX
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おつです。順序数の記事も是非作ってほしい
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ななしのよっしん
2014/08/27(水) 08:08:00 ID: GtuaoFZTwX
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ななしのよっしん
2014/08/27(水) 13:40:00 ID: 6R0oKK5tPq
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>>5
連続体仮説についてはその理解であっています。
>>4で最初に書いた話の具体例はまさに>>7で挙げられているようなケースですね。
|A|=|B|(濃度が等しい)というのは、「過不足なくペアを作る方法が(少なくとも1つ)存在する」ということなので、そのような方法を具体的に1つ見つけるだけで示せるのですが、
|A|≠|B|(濃度が異なる)というのは |A|=|B|の否定なわけですから、「過不足なくペアを作る方法が存在しない」こと、つまり「どんな方法でペアを作っても過不足が生じる」ことを示さないといけないわけです。
よって「ある方法でペアを作ったらBの元が余った」というだけでは濃度が異なるかどうかはわからないということになります(もっともこの状況でも |A|≦|B|(等号付きの大小関係) が成り立つことは言えるので、この意味で「濃度が大きい」と言っているなら間違いとは言い切れないのですが......)。
それとせっかくなので、>>4に書いた説明をもっと正確に書いてみます(ここで「ペア」とは「方向を問わない単射」のことだとします)。
|A|=|B| ⇔ AからBへの全単射が存在 ⇔ どちらの元も余らないようにペアを作る方法が存在する
|A|≦|B| ⇔ AからBへの単射が存在 ⇔ Aの元が余らないようにペアを作る方法が存在する
|A|≠|B| ⇔ ¬( |A|=|B| ) ⇔ どんな方法でペアを作ってもどちらかの元が余る
|A|<|B| ⇔ ( |A|≦|B| ∧ |A|≠|B| )
⇔ 「Aの元が余らないようにペアを作る方法が存在」し、かつ「どんな方法でペアを作ってもどちらかの元が余る」
⇔ どんな方法でペアを作ってもBの元が余る
となるので>>4に書いた説明と一致します。
(さらに正確にいうと、|A|<|B| のところの最後の式変形ではこっそりベルンシュタインの定理を使ってます。ベルンシュタインの定理とは、双方向に単射が存在すれば全単射も存在する、という定理で、つまり ( |A|≦|B| ∧ |B|≦|A| ) ⇒ |A|=|B| が成り立つということです。
この定理から、「Aを余らせない方法と、Bを余らせない方法はあるけど、どちらも余らないようには出来ない」という状況が起こりえないことがわかるので、あの式変形ができます。) -
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ななしのよっしん
2014/09/10(水) 20:35:07 ID: GtuaoFZTwX
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ななしのよっしん
2014/10/19(日) 23:55:13 ID: /5frOdlApU
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きのこ
2014/10/20(月) 14:05:37 ID: 9LGvQj0ECE
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ななしのよっしん
2014/10/20(月) 14:13:53 ID: z+STgTXZvb
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ななしのよっしん
2014/10/25(土) 08:31:54 ID: GtuaoFZTwX
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ななしのよっしん
2014/12/31(水) 00:31:21 ID: 6VpPrGmkbn
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ななしのよっしん
2015/01/09(金) 10:58:51 ID: 1JGiktQyY5
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ななしのよっしん
2015/01/15(木) 20:17:55 ID: PZwne+nOTM
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ななしのよっしん
2015/01/29(木) 19:05:32 ID: reuf0wUUvi
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対角線論法の反証を思いついた、以下その証明
0以上10以下の2進法で示す
尚、この反証に自然数との比較は不要である為に省いている
0.10110…
1.00100…
1.11001…
0.00111…
1.01001…
1.01010…
…
この数列は「ある特殊な並べ方」をした数列である、その特性は後述
最初に通常通りの対角線論法を用いて『斜め数列』を生成して欲しい
結果「11001…」という数列が現れる
次に『斜め数列』を生成する為に桁を取り出した行の、真下の行の桁の数を取り出して欲しい
これを『真下斜め数列』とすると、結果「11001…」という数列が得られる
おわかりいただけただろうか、『斜め数列』とこの『真下斜め数列』は全く同じ数列なのである
そして前述した「ある特殊な並べ方」とは「『真下斜め数列』を生成可能な並べ方」なのである
この並べ方が成立するなら
“n行目のn桁目の数と違う数は必ずn+1行目のn桁目に存在する”
無限集合より有限の個数の要素を取り除いても付け加えても濃度は変化しない
よって“『斜め数列』と『真下斜め数列』の桁数は等しい”
『斜め数列』と『真下斜め数列』の桁数が等しいならば
“対角線論法の「『斜め数列』は並べ終えた実数のどの実数でもない」という証明法は成り立たない”
多分どこかまちがえてるんだろうけどな~ -
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ななしのよっしん
2015/01/29(木) 19:26:03 ID: reuf0wUUvi
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ななしのよっしん
2015/01/29(木) 19:52:35 ID: GtuaoFZTwX
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2015/01/30(金) 18:49:32 ID: reuf0wUUvi
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ななしのよっしん
2015/01/30(金) 22:06:48 ID: GtuaoFZTwX
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ななしのよっしん
2015/01/31(土) 15:14:54 ID: /5frOdlApU
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2015/02/01(日) 10:01:58 ID: reuf0wUUvi
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ななしのよっしん
2015/02/01(日) 18:48:11 ID: /5frOdlApU
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異なる実数を並べている以上、そんなことは起こりえない。
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2015/02/04(水) 15:17:54 ID: reuf0wUUvi
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ななしのよっしん
2015/02/05(木) 01:17:45 ID: 6R0oKK5tPq
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>>17
この論法において「対角線から生成されるリストにない実数」は、何か1つだけでも存在することを示せば十分、という点を認識できていないように見えます。リストにない実数をたくさん生成しよう、という論法ではありません。
対角線論法とは、N(自然数全体の集合)とR(実数全体の集合)の濃度が異なる、つまりNとRの間に全単射が存在しないことを証明する際に用いる論法です。概略を書くと、以下のようになります。
・まずNからRへの写像fを考える(=実数のリストを考える)。
・fとしてどのようなものを考えても、対角線に注目することで、Rの元でfの像に属さないもの(つまり、リストにない実数)が少なくとも一つ必ず存在することがわかる。
・よって、NからRへのどのような写像も全射ではない(=どんなリストを考えても、それには抜けがある)。
・それはつまり、NからRへの全射が存在しないということ(=抜けのない実数のリストは存在しない)。
・よってNとRの間に全単射は存在しないので、NとRの濃度は異なる。 -
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ななしのよっしん
2015/02/05(木) 05:59:12 ID: /5frOdlApU
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ななしのよっしん
2015/02/05(木) 09:10:15 ID: GtuaoFZTwX
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ななしのよっしん
2015/02/06(金) 21:47:46 ID: 0opKQ+Vo5I
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ななしのよっしん
2015/02/06(金) 23:46:44 ID: GtuaoFZTwX
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