可算無限と非可算無限

1 ななしのよっしん
2014/08/25(月) 22:54:20 ID: C9iSnYZzN8
なんでこんな記事作られたんですかね・・・
2 ななしのよっしん
2014/08/25(月) 23:41:29 ID: u5TaM01eav
連続体「仮説は全な明を与え」られるだと、連続体仮説独立ではないことになってしまうので、連続体仮説独立性と書かないといけないと思う。

独立性だとわかりづらいか、ℵ0.5があるとしても、ないとしてもよいことが明されたかなー
3 ななしのよっしん
2014/08/26(火) 00:00:48 ID: 8XrYOIDGuD
>>2
んー? 1行はちょっとよくわかんないけど2行は記事にそう書いてない?
4 ななしのよっしん
2014/08/26(火) 15:37:50 ID: 6R0oKK5tPq
読んでて気になった部分を挙げてみる。

濃度の較のとこ、「濃度が等しい」はこれでいいんだけど「濃度が大きい」の説明はこれだとちょっとまずくて、
「AよりBの濃度の方が(に)大きい」⇔「AとBの間で "どのようにペアを作っても" Bの元が余る」
というように、ペアの作り方に任意性を持たせないといけない。集合の場合は、余りの出ないペアの作り方があるからと言って、余りが出るようにペアを作ることができないわけじゃないからね。

あとアレフ数っていうのは限基数に対して小さい順に番号(正確には順序数)を振っていったものなので、そもそも「連続体濃度はアレフ1である」という命題連続体仮説そのもの。アレフ0とアレフ1の中間とかっていうのは最初からない。

あと較的どうでもいい部分としては、数列(の値域)が可算無限っていうのは、狭義単調増加数列の値域、とかにしておかないとまずいとか、対角線論法のところで各桁に1を足すのは8が限に並んでる場合に0.999...とかになって面倒だから9にならない変換にしようとか、その直後の奇遇で分けるやつ0と1が逆とか、まあそのくらいかな。
5 ななしのよっしん
2014/08/27(水) 03:39:54 ID: 8XrYOIDGuD
>>4
2番摘に関してはつまり連続体仮説っていうのは「連続体濃度はアレフ2とかアレフ3とかではなくて、自然数の濃度の1コ次のやつが連続体濃度」っていう仮説ってことなのかな。だったら間違ってますね。限に関する記事なのにフラクタル次元とかに触れられるの結構気に入ってたのに残念だけどこれはカットしないといけないね・・・

単調増加に関してはいきなり「単調増加」みたいな言葉出しても、あるいはそれをわかりやすいように説明しても、むだに説明が煩雑になるので書くのやめました。まぁ「ごまかし」の範囲内ってことで。例としてあげたやつ全部単調増加だしいいでしょってことで。

最後の摘については全くもってもっともなので修正します。

最初の摘についてはちょっとよくわからないのでもう少し説明してもらえると助かります。
6 ななしのよっしん
2014/08/27(水) 08:02:11 ID: GtuaoFZTwX
おつです。順序数の記事も是非作ってほしい
7 ななしのよっしん
2014/08/27(水) 08:08:00 ID: GtuaoFZTwX
>>4氏の最初の摘について横で説明を入れると、自然数全体の集合{1,2,3,...} と偶数全体の集合{2,4,6,...} は余りがあるようにもペアがとれる(2↔2, 4↔4, 6↔6, ...)し、ないようにもペアがとれる(1↔2, 2↔4, 3↔6)よね、って話
8 ななしのよっしん
2014/08/27(水) 13:40:00 ID: 6R0oKK5tPq
>>5
連続体仮説についてはその理解であっています。
>>4で最初に書いた話の具体例はまさに>>7で挙げられているようなケースですね。
|A|=|B|(濃度が等しい)というのは、「過不足なくペアを作る方法が(少なくとも1つ)存在する」ということなので、そのような方法を具体的に1つ見つけるだけで示せるのですが、
|A|≠|B|(濃度が異なる)というのは |A|=|B|の否定なわけですから、「過不足なくペアを作る方法が存在しない」こと、つまり「どんな方法でペアを作っても過不足が生じる」ことを示さないといけないわけです。
よって「ある方法でペアを作ったらBの元が余った」というだけでは濃度が異なるかどうかはわからないということになります(もっともこの状況でも |A|≦|B|(等号付きの大小関係) が成り立つことは言えるので、この意味で「濃度が大きい」と言っているなら間違いとは言い切れないのですが......)。

それとせっかくなので、>>4に書いた説明をもっと正確に書いてみます(ここで「ペア」とは「方向を問わない単射」のことだとします)。
|A|=|B| ⇔ AからBへの全単射が存在 ⇔ どちらの元も余らないようにペアを作る方法が存在する
|A|≦|B| ⇔ AからBへの単射が存在 ⇔ Aの元が余らないようにペアを作る方法が存在する
|A|≠|B| ⇔ ¬( |A|=|B| ) ⇔ どんな方法でペアを作ってもどちらかの元が余る
|A|<|B| ⇔ ( |A|≦|B| ∧ |A|≠|B| )
 ⇔ 「Aの元が余らないようにペアを作る方法が存在」し、かつ「どんな方法でペアを作ってもどちらかの元が余る」
 ⇔ どんな方法でペアを作ってもBの元が余る
となるので>>4に書いた説明と一致します。
(さらに正確にいうと、|A|<|B| のところの最後の式変形ではこっそりベルンシュタインの定理を使ってます。ベルンシュタインの定理とは、双方向に単射が存在すれば全単射も存在する、という定理で、つまり ( |A|≦|B| ∧ |B|≦|A| ) ⇒ |A|=|B| が成り立つということです。
この定理から、「Aを余らせない方法と、Bを余らせない方法はあるけど、どちらも余らないようには出来ない」という状況が起こりえないことがわかるので、あの式変形ができます。)
9 ななしのよっしん
2014/09/10(水) 20:35:07 ID: GtuaoFZTwX
あれ、「可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説」
可算濃度より大きい最小の濃度は連続体濃度じゃねえの?仮説」
って言い方自体は連続体仮説の説明としては正しいよね?これらの言い方から連続体仮説が「『アレフ0.5』みたいな濃度は存在しない」という仮説だと勘違いする理由がわからないのだけれど…。
アレフ0.5々は「アレフn」の定義を勘違いしてたから出ただけなのでは
10 ななしのよっしん
2014/10/19(日) 23:55:13 ID: /5frOdlApU
とにかく実数の濃度は「アレフ」であって「アレフ1」かどうかは「明できない」ことなので修正お願いします。
11 きのこ
2014/10/20(月) 14:05:37 ID: 9LGvQj0ECE
連続体仮説ってよく誤解されるんだよなぁ(¬_¬)
12 ななしのよっしん
2014/10/20(月) 14:13:53 ID: z+STgTXZvb
同じ限に続く数でも3.3333…より9.9999…の方がでかいとかそういう話かな?(精一杯の思考)
13 ななしのよっしん
2014/10/25(土) 08:31:54 ID: GtuaoFZTwX
>>4>>8の説明にある通り、玉入れのところの「濃度が大きい」の説明は修正しないといけないなぁ…
14 ななしのよっしん
2014/12/31(水) 00:31:21 ID: 6VpPrGmkbn
カントールの対関数があることでつまり
n/m みたいな分数の濃度もnの集合の濃度も同じだと
言えるということか(言葉の使い方あってる?)
15 ななしのよっしん
2015/01/09(金) 10:58:51 ID: 1JGiktQyY5
とりあえず一通り理解したけど
小学校運動会白組の子たちの悔しさったらない
16 ななしのよっしん
2015/01/15(木) 20:17:55 ID: PZwne+nOTM
実は少し工夫すると白組組を同点にできる
17 ななしのよっしん
2015/01/29(木) 19:05:32 ID: reuf0wUUvi
対角線論法の反を思いついた、以下その

0以上10以下の2進法で示す
尚、この反自然数との較は不要である為に省いている
0.10110…
1.00100…
1.11001…
0.00111…
1.01001
1.01010…

この数列は「ある特殊な並べ方」をした数列である、その特性は後述

最初に通常通りの対角線論法を用いて『斜め数列』を生成して欲しい
結果「11001…」という数列が現れる
次に『斜め数列』を生成する為に桁を取り出した行の、下の行の桁の数を取り出して欲しい
これを『斜め数列』とすると、結果「11001…」という数列が得られる

おわかりいただけただろうか、『斜め数列』とこの『斜め数列』は全く同じ数列なのである
そして前述した「ある特殊な並べ方」とは「『斜め数列』を生成可な並べ方」なのである

この並べ方が成立するなら
“n行のn桁の数と違う数は必ずn+1行のn桁に存在する”
集合より有限の個数の要素を取り除いても付け加えても濃度は変化しない
よって“『斜め数列』と『斜め数列』の桁数は等しい”
斜め数列』と『斜め数列』の桁数が等しいならば
対角線論法の「『斜め数列』は並べ終えた実数のどの実数でもない」という明法は成り立たない”

多分どこかまちがえてるんだろうけどな~
18 ななしのよっしん
2015/01/29(木) 19:26:03 ID: reuf0wUUvi
>>17
いけね、間違えた
対角線論法の「『斜め数列』は並べ終えた実数のどの実数でもない」という明法は成り立たない”
じゃなくて
“『斜め数列』の生成から「カントールの対角線論法」が成り立つ”だ
19 ななしのよっしん
2015/01/29(木) 19:52:35 ID: GtuaoFZTwX
>>17 限数列の「桁数」とは何?
それから、この例で対角線論法明にがあると言いたいのかな、ちょっと読んでてよくわからなかった。
20 17
2015/01/30(金) 18:49:32 ID: reuf0wUUvi
>>19
「濃度」ですね桁数も限だし、つい混同してしまった
>>17 で言いたかったのは
「“『斜め数列』と全ての桁が元の数とは違う数字”は“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの”と等しくなるのではないか」
ということ、その理由は
「“n行とn桁の違う数をn+1行に置く”という順番で配置すると“対角線論法を用いて生み出す『新しい実数』は『2行から始めた斜め数列』で生成出来てしまうことになる”」こと
これのどこが間違ってるのかの摘が欲しい、というのが趣旨
21 ななしのよっしん
2015/01/30(金) 22:06:48 ID: GtuaoFZTwX
>>20 よ、読みにくい!
①“『斜め数列』と全ての桁が元の数とは違う数字” とは1.1001…のことですか?
②“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの” というのは複数通りありますよね(斜め数列0.0110...とか、1.1110...とか)。
1個しかない①と複数通りある②が「等しい」とは…?
22 ななしのよっしん
2015/01/31(土) 15:14:54 ID: /5frOdlApU
>>20
それ自体は正しい。
ただしそれは対成分からなる小数が並べたいずれの小数とも異なるという事実を覆すものではない。
23 17
2015/02/01(日) 10:01:58 ID: reuf0wUUvi
>>20
①あってる

複数通りある中の一つが『斜め数列』
そして「『斜め数列』が生成できる配列を任意に(テキトーに)配列し直し」
「その上で“『斜め数列』と同じもの”を生成」したら
「“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの”に等しくなる」
そして「その配列限に存在する=可算濃度に等しい」

>>22
つまり“実数側の全ての行からそれぞれ違う桁を任意にとったもの”は「新しい実数」に相当するという事?
24 ななしのよっしん
2015/02/01(日) 18:48:11 ID: /5frOdlApU
異なる実数を並べている以上、そんなことは起こりえない。
25 17
2015/02/04(水) 15:17:54 ID: reuf0wUUvi
>>24
の質問の仕方が悪すぎた

対角線論法の中で新しく生み出した実数(これを根拠に自然数実数の濃度が違うと述べているもの)」
を『全異斜め数列』
「全ての行からそれぞれ違う桁の数を任意に取り出した数列」
を『任意取り出し数列』として

1:『全異斜め数列』=『斜め数列』
2:『斜め数列』=『任意取り出し数列』
3:『全異斜め数列』=『任意取り出し数列』
4:『任意取り出し数列』は桁と行が等しい時は新しい数列を生み出すとは限らない
5:4は桁と行が限の時は適応できない

この1から5の中でどれが間違っているのかを知りたい、と言いたかった
対角線論法が正しいなら4が間違いだと思う
26 ななしのよっしん
2015/02/05(木) 01:17:45 ID: 6R0oKK5tPq
>>17
この論法において「対線から生成されるリストにない実数」は、何か1つだけでも存在することを示せば十分、という点を認識できていないように見えます。リストにない実数をたくさん生成しよう、という論法ではありません。

対角線論法とは、N(自然数全体の集合)とR(実数全体の集合)の濃度が異なる、つまりNとRの間に全単射が存在しないことを明する際に用いる論法です。概略を書くと、以下のようになります。

・まずNからRへの写像fを考える(=実数リストを考える)。
・fとしてどのようなものを考えても、対線に注することで、Rの元でfの像に属さないもの(つまり、リストにない実数)が少なくとも一つ必ず存在することがわかる。
・よって、NからRへのどのような写像も全射ではない(=どんなリストを考えても、それには抜けがある)。
・それはつまり、NからRへの全射が存在しないということ(=抜けのない実数リストは存在しない)。
・よってNとRの間に全単射は存在しないので、NとRの濃度は異なる。
27 ななしのよっしん
2015/02/05(木) 05:59:12 ID: /5frOdlApU
reuf0wUUviレス全部意味不明
28 ななしのよっしん
2015/02/05(木) 09:10:15 ID: GtuaoFZTwX
任意 と 存在 の勉強をしたほうがいいかもしれない
29 ななしのよっしん
2015/02/06(金) 21:47:46 ID: 0opKQ+Vo5I
>>25
任意取り出し数列が複数存在するのに対し、全異斜め数列や斜め数列は一つしか存在しない。
つまり2と3は間違い。
30 ななしのよっしん
2015/02/06(金) 23:46:44 ID: GtuaoFZTwX
数学の正しい記号を使って説明してほしいところだなぁ

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2020/02/28(金)15時更新