可算無限と非可算無限

31 ななしのよっしん
2015/02/07(土) 02:22:23 ID: /5frOdlApU
>>25
1は偽。等しいとは限らない。
4は。数列は数列を生み出さない。
5は。数が何かに「適応」することはない。

だから何なのって話だが。
対角線論法と全く関係ないし。
32 17
2015/02/08(日) 14:19:44 ID: reuf0wUUvi
>>31 他「関係ないよコレ」系統の事を言ってくれた人

すまんマジでその通りだった
『全異斜め数列』と同じ数列を作る条件で『任意取り出し数列』作ったら有限でも限でも絶対に新しい数列作れるわ

勘違いの趣旨は
「『任意取り出し数列』は新しい数列作り出すとは限らないよね?」
だったけど
「『全異斜め数列』と同じ数列を作る『任意取り出し数列』」は限ってた
本当にすまん、変に騒ぎ立ててごめん。
33 ななしのよっしん
2015/02/10(火) 18:30:57 ID: /5frOdlApU
>>32
また意味不明なことを書いているな
34 ななしのよっしん
2015/02/20(金) 17:49:11 ID: xENiSa+WIK
ヒルベルトのホテルパラドックス
“客室が限にあるホテルを考える。現実にある客室が有限のホテルの場合には、「満室である」ということと「もう1人も泊められない」ということは同値である。しかし「ホテル」ではそうはならない。”(Wikipediaより引用

この「可算無限と非可算無限」記事を読んだことが理解の助けになった。ありがとう。
35 ななしのよっしん
2015/03/08(日) 18:27:37 ID: YykZjGH6QL
数学知識はまるでいです。

ヒルベルトのホテルパラドックスWikipediaを見たら、「n 号室の客を n + 1 号室へ」って書いてあった。でも満室のホテルなら n + 1 号室も客が入ってるんじゃないの?と思った。

n + 1 号室がいてるならそれは満室ではないんじゃないか。部屋数を増やすなら客もセットで増やすべきなんじゃないか。

いやケチつけたいとかじゃなくて単純に疑問に思った。
n + 1 号室に客が入っていないっていうのは、何か数学的な理由があるのかな。
36 ななしのよっしん
2015/03/09(月) 03:05:26 ID: fwGVcZ3zmW
>>35
「n 号室の客を n + 1 号室へ」移動するのと同様に
「n + 1 号室の客を n + 2 号室へ」に移動するから
問題ないよ。

Wikipediaの説明の「n」は特定自然数を表している訳じゃなくて
 任意、つまりあらゆる自然数を表しているから、
 「n 号室の客を n + 1 号室へ」ってのは、
   「1 号室の客を 2 号室へ」
   「2 号室の客を 3 号室へ」
   「3 号室の客を 4 号室へ」
    …(以降限に続く)    を意味している訳。
37 ななしのよっしん
2015/03/09(月) 03:07:27 ID: fwGVcZ3zmW
補足だけど、数学って変数(「n」とか「x」とか)使うけど、
状況によって変数の意味合いが違うから、ちゃんと説明読まないと
理解間違えることがある。
まぁちゃんと説明されていないこともあるんだけど。
(「これくらい説明しなくても分かるだろ」的な感じで。)
38 ななしのよっしん
2015/04/09(木) 03:24:20 ID: xZoE+HvDaz
Wikipediaの「ヒルベルトのホテルパラドックス」記事読んでみたけど、これ「限ってのは限に数が用意されてるんじゃなくて、限に数を増やせる事が限なんだよね」と言ってるの?
なんかそう考えたら、ちょっと濃度の話が飲み込みやすくなった。
39 ななしのよっしん
2015/05/04(月) 20:50:39 ID: Bv5J+/jDPJ
/ 0  1  2 … 10  … (自然数限)
0 0.0 0.1 0.2   0.01
1 1.0 1.1 1.2   1.01
2 2.0 2.1 2.2   2.01

自然数限)

だから実数の方がでかい
40 ななしのよっしん
2015/05/04(月) 21:02:13 ID: GtuaoFZTwX
>>39 自然数全体×自然数全体から実数全体への単射を作ったってだけだから、実数の方がでかいことの明にはなってなくない?
41 ななしのよっしん
2015/05/06(水) 01:32:42 ID: WbN0PVDfNa
/ 0 1 2 3 … (自然数限)
0 0 2 5 9
1 1 4 8
2 3 7
3 6

自然数限)

だから整数の方がでかいって言ってるような物。
記事乙
教養時代にコーエンの強制法に出会って数学の魅にとりつかれたの思い出したよ。
42 ななしのよっしん
2015/05/08(金) 00:42:09 ID: C6W6bC6JJu
対角線論法って要は、次の1.2.3であってるよね?
1.全てを並べられたと仮定する
2.そこ(1.)にないものが作成できる
3.だから1.は間違っている

そうだとすると同様に自然数でも1.2.3が成り立つと思う
1.全てを並べられたと仮定する
2.そこ(1.)にないものが作成できる(全ての1.の後者(+1)をとっていくと、最低一つは1.にないものができる)
3.だから1.は間違っている

だから自然数は非可算だ..となると思うんだけど、
どこが間違っているのかわからない
43 ななしのよっしん
2015/05/08(金) 01:09:12 ID: WbN0PVDfNa
自然数の定義として、任意の自然数の後継者は自然数の元であるってのがあるよ
44 ななしのよっしん
2015/05/08(金) 01:33:41 ID: GtuaoFZTwX
>>42 1.で普通1,2,3,…と並べると、全ての1.の後者は2,3,4,…だから「そこ(1.)にないものが作成でき」ていないと思うけれど…?
45 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 12:25:10 ID: C6W6bC6JJu
>>43
>>任意の自然数後者自然数の元
どんな自然数集合を作っても、その中で最も大きいものの後者が存在し、
それはその集合の中には存在しないという、
まさに42の2.を支える根拠です。

>>44
>>1,2,3..の後者集合2,3,4...では成立しない
後者集合には1が存在しなくて個数が同じだから、
その分代わりに"何か"があるはずですよね。
その場合ズバリ最後の要素が該当します

普通なら限ならそんな要素はない、で納得するんですが
対角線論法で作った実数も同様に作れない気がするんですよ
対角線論法で作る実数を作るためには他の全てを列挙する必要がありますが
それが可なら、そのどれもより大きな自然数は簡単に作れるとしか思えないです


元記事の対角線論法の項、自然数実数の表において
実数0.011110...に対して、自然数!?となっています

ヒルベルトのホテルを参考にすると、満室状態から1人増えても問題ないので
実数0.011110...に対して、自然数kを割り当てることに何の問題も感じないわけで...

限個から1個足すというのが
実数及び通常の自然数では許されて、
対角線論法の時の自然数だけできないとすればそれはなぜなんでしょう
46 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 12:47:23 ID: iMzy8uRxP6
自然数は大小の区別がつくので順番に並べられるが
実数はそうはいかないってのがポイントなんじゃないの
47 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 13:41:35 ID: /5frOdlApU
>>45
>どんな自然数集合を作っても、その中で最も大きいものの後者が存在し、それはその集合の中には存在しないという、まさに42の2.を支える根拠です。
意味不明

>1,2,3..の後者集合2,3,4...では成立しない
↑何が成立しないんだ?

あとは全部妄想だな。
48 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 13:44:40 ID: WbN0PVDfNa
>>45
>>どんな自然数集合を作っても、その中で最も大きいものの後者が存在し、それはその集合の中には存在しない
これはだが、今の議論とは関係がい。

>>2.そこ(1.)にないものが作成できる(全ての1.の後者(+1)をとっていくと、最低一つは1.にないものができる)
これは偽。任意の自然数後者もまた自然数なんだから、「全ての1.の後者(+1)をとっていく」ことをしても全て自然数

>>その分代わりに"何か"がある
とか
>>最後の要素
とか、全部偽。自然数を有限集合と勘違いしていないかい。
49 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 13:47:57 ID: WbN0PVDfNa
すまん
>>どんな自然数集合を作っても、その中で最も大きいもの
も存在しないね。
e.g.素数集合偶数集合
50 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 22:31:36 ID: C6W6bC6JJu
>>>>どんな自然数集合を作っても、その中で最も大きいもの
>>も存在しないね。

自然数だけの話であれば、それはそのまま信じられるんです


問題なのは、対角線論法に限った時です

線で新しい実数を作るためには、全ての要素全ての桁について調しなければいけません
あえていうなら、(少なくとも表の)最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえないわけです

自然数に最も大きいものがないのと同様、
普通に考えれば対角線論法の表の最後の数もないわけで、
それは"実数の方の余る数"は存在できないとうことじゃないですか?


もし存在するなら、(少なくとも表の)一番大きい自然数が存在できるというのはそんなにおかしいとは思えないのですが...
51 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 23:43:54 ID: /5frOdlApU
>(少なくとも表の)最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえないわけです
意味不明

>自然数に最も大きいものがないのと同様、普通に考えれば対角線論法の表の最後の数もないわけで、それは"実数の方の余る数"は存在できないとうことじゃないですか?
お前は何を言ってるんだ
52 ななしのよっしん
2015/05/09(土) 23:46:26 ID: WbN0PVDfNa
>>最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえないわけです
ってのがそもそも間違い。
君の理屈だと、πは最後の桁(そもそもこの概念がだが)が決まらないから数ではないのかな?
限の操作の了が許せないと言っても、対角線論法は構成的な明だから直観数学でも付け入る隙がいと思うのだが(曖昧)
この理屈だと、「自然数のうち2で割り切れる数を小さい順から集めていく」という作業によって作られた偶数集合({0, 2, 4, 6, ...})にも最大元があることになるよ
53 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 00:02:04 ID: GtuaoFZTwX
感覚でしかれないのならば、数学議論にはならないんだよなぁ
54 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 00:29:18 ID: WbN0PVDfNa
確かに数学議論で「信じられる」なんて言葉は相応しくないね
あくまで明された物を納得するのみ

あと、πの例があまり適切ではないような気がしたので、超越数であることが明されていて、かつ各桁の調(?)が有限の回数では終わらないChampernowne定数を紹介しておく
0.123456789101112131415161718192021...
55 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 08:56:48 ID: C6W6bC6JJu
>>52,54
対角線論法では、最初に自然数実数の対応表を作るので
ここででてくる実数の数はあくまで可算個です

なので、重要なのは超越数かどうか(各桁/値が実数かどうか)ではなく、
可算無限回の操作が可かどうかです


対角線論法実数のほうでは可算回の操作(各値の各桁からひとつ取り出す)が全て了してそれに依存した新しい数を作れますが
自然数のほうではほぼ同等の可算回の操作(各値に+1する)による新しい数が作れないことになっています

両方出来る or 両方出来ない なら何の問題もないのですが
なぜ異なる結果になるんでしょうか?
56 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 10:01:04 ID: GtuaoFZTwX
>>55 ・「可算無限回の操作」の定義は何ですか?
・「可算無限回の操作」をしたら必ず新しい数が出来るor新しい数が出来ないのどちらかになる と信じる根拠は何ですか?
57 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 12:57:20 ID: /5frOdlApU
Q:なぜ異なる結果になるんでしょうか?
A:操作が違うからです。
58 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 13:20:47 ID: WbN0PVDfNa
1)対角線論法では、最初に自然数実数の対応表を作るのでここででてくる実数の数はあくまで可算個
実数可算無限ではない事を明する過程なので、「実数を可算個」とするのは誤り。あくまで全てリストしたと仮定しているだけ。

2)(少なくとも表の)最後の値、最後の桁が確定しないと新しい数とはいえない
→確定の方法が構成的に示されていれば十分。

3)両方出来る or 両方出来ない なら何の問題もない
→この命題はどの公理及び定理から導かれたのか?

数学には、人間の直観に反するような定理明されることは往々にしてある。(cf. バナッハ・タルスキー定理
ここで議論されていることは公理に直接関する事でも形上学的な事でもないので、畢竟君が何を信じようが信じまいが関係ないんだよ。
あと、君の論を反できる意見がこの一連の議論の中でいくつも出ているが、それらの一部にしか反応を示さないと言うのは不毛じゃないか。実際また同じ質問をしているわけだし。
59 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 13:27:49 ID: C6W6bC6JJu
>>56
>>「可算無限回の操作」の定義は何ですか?
定義の書き方はよくわからないんですがとりあえず書いてみます
a.対角線論法の表の実数において、n番のn桁集合Zaに取り出す
b.対角線論法の表の自然数において、n番の数を参照してn+1を集合Zbに取り出す

最終操作
a'.Zaを加工して実数rを作る。rは元の表には存在しない
b'.Zbの中には元の表に存在しない数が存在する


>>・「可算無限回の操作」をしたら必ず新しい数が出来るor新しい数が出来ないのどちらかになる と信じる根拠は何ですか?

必ずしも新しい数が出来るor新しい数が出来ないになるとは考えていません
対角線論法によって新しい数ができるのであれば(a'.)、
そのときに使用した同数の自然数集合から新しい数を作るのは可(b'.)と考えます

あくまでa'を前提としたもので、b'単体ではまた別の結論になると思います

なぜa'.が成立するかはわからないのですが、対角線論法が出来るといっている以上、できるのでしょう。


>>Q:なぜ異なる結果になるんでしょうか?
>>A:操作が違うからです。
でも操作の回数と、試行しなければいけない総数は同じですよね
であれば当然一方が了すれば、もう一方も了しませんか?
60 ななしのよっしん
2015/05/10(日) 14:33:25 ID: WbN0PVDfNa
>>59
「a' ならば b'」と君が信じるのは自由だが、これは簡単に反することができる(実際お望みとあらば明するに吝かでない)。
それでもなお君がこの命題を信じるというのであれば、それはもはや数学ではなくて宗教だ。他の場所で議論することを勧めるよ。

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