可算無限と非可算無限単語

• 概要
• 濃度
• ２つの無限集合どうしの濃度を比較する
• 自然数の濃度
• 実数の濃度
• 連続体仮説
• 関連書籍
• 関連リンク
• 関連項目
• 掲示板

可算無限とは、数ある無限の中でも最も小さな無限。

非可算無限とは、可算無限より大きな無限。

概要

無限にも大小がある。

結論から言えば可算無限とは自然数の無限のことである。自然数というのは１とか２とか３とか１００みたいなごく普通の数のこと。スタンダードな数学の範囲ではこれより小さい無限は存在しない。これより大きい無限が非可算無限であり、例えば実数の無限がこれにあたる。実数というのは自然数とか分数とか無理数を全部含んでるもののこと。

一つずつ説明していく。

濃度

無限集合どうしの大きさを比較する尺度の一つに「濃度」というものがある。まず、集合の中に入ってるもの一つ一つのことを「要素」というが、有限集合ならその要素の個数を数えれば大きさの比較ができる。例えば都道府県の集合の要素の数は47。嵐のメンバーの集合なら5。都道府県の方が大きい。世の中に有限集合しかないならそれでいいが、自然数とか実数とかみたいな無限集合の場合は要素の個数を数えても数え終わらない。そこで「要素の個数」という概念を無限集合でも扱えるように拡張したものが「濃度」である。つまり「濃度＝個数」と読み替えてしまってここでは差し支えない。

２つの無限集合どうしの濃度を比較する

無限小学校の無限運動会の無限玉入れが今終わった。赤組のカゴには無限個、白組のカゴには無限個の玉が入っている。まさにこの玉入れの玉を数える要領で、無限集合どうしの濃度を比較することができる。すなわち、一個ずつ同時に数えていって（赤玉と白玉のペアを一組ずつ作っていって）、最終的に余った組の濃度の方が大きい^※、ということである。

ハイというわけで赤組の勝ち。赤組の玉の集合の方が大きい^※。別に白組の玉が有限というわけではない。無限どうしだけど、一つずつペアにしていってみたら赤組の方が余ったよ、ということである。たまにはそういうこともある。逆に言えば、過不足なくペアを作れるならば、二つの集合の濃度は等しいということになる。

※次節の例からもわかるように、正確には「大きい」ではなく「大きいか、等しい」である。つまり赤組は白組に「勝った」のではなく、「勝ちか引き分け」。

自然数の濃度

前述の通り、自然数の濃度は数ある無限集合の濃度の中で最も小さい。しかし自然数より個数の少ない無限集合なんていくらでもありそうに思える。たとえば３の倍数。これも無限にある。

こうして見ると明らかに３の倍数の方が少ない。自然数の三分の一しかない。・・・ように見える。しかし次の表だとどうだろう。

この表の下の段と、さっきの表の下の段は全く同じものである。だって自然数を３倍したものが「３の倍数」なんだもの。あたりまえだ。

どの自然数でも３倍すると３の倍数になる。どの３の倍数でも1/3すると自然数になる。これはつまり自然数と３の倍数は過不足なくペアを作れるということにほかならない。あぶれる数はない。すなわち自然数の濃度と３の倍数の濃度は等しいということである。

これはほかの全ての自然数列にもあてはまる。偶数でも、奇数でも、10の倍数でも、一億の倍数でも、三角数でも、平方数でも、階乗数でも、その濃度は自然数の濃度と等しい。

それどころか、自然数より個数が多そうな整数や分数の濃度も、この考え方を使えば自然数と同じ濃度であることが示せる。いろいろ対応のさせ方があるが、例えば次のようにすればよい（参考 - カントールの対関数）。

この自然数の濃度のことを指して「可算濃度」、その無限のことを「可算無限」という。「可算」というのはつまり１つ、２つ、３つ、という風に番号づけして数えられるという意味である。英語ではcountable。しかし「数えられる」というと暗に「数え終われる」というニュアンスを含んでいるとして、「可付番」と呼ばせる向きもある。英語でも同じで、「listable」という言葉を使いたがる人もいる。

実数の濃度

ここまで見てくると、じゃあ全ての無限が自然数の無限と同じなんじゃないの？という気がしてくる。しかし実数の無限の方が大きいのである。これはつまり、自然数と実数のペアを作っていくと実数の方が余る、ということである。

対角線論法

自然数と実数のペアを作っていってみる。全ての実数を考えるのはちょっとしんどいので最初は０以上１未満の実数を考える。実数は無限小数として表せるので、０以上１未満のところには0.1415926...とか0.7320508...とかそれこそ0.5000000...（すなわち0.5のこと。0.4999999...でも同じ）みたいのが大量に存在している。これらの実数をなんとかして全部順番に並べた列を作れたとする。

0.1415926...
0.7320508...
0.5000000...
0.3247195...
0.6180339...
0.7182818...
・
・
・

小さい順じゃなくてもいい。ていうか実数を一つずつ小さい順に並べるなんてことはできない。実数には隣の数がないからである。例えば円周率πの隣の数を見出すことはできない（3.1415...だから3.2？　いやいやじゃあ3.15は？　だったら3.142は？　となって無限に続く）。じゃあどういう風に並んでるかというと、テキトーである。テキトーでも、とにかく実数を全部こうやって列にすることができたと仮定して話を進める。

ここで対角線の位置にある数字に注目する。

0.1415926...
0.7320508...
0.5000000...
0.3247195...
0.6180339...
0.7182818...
・
・
・

これらの数字を「0.」の後に並べて「0.130731...」という数を作る（上の実数の列はまだまだ無限に下にも続いているためこの数も無限小数になる）。

次にこの「0.130731...」の小数点以下の各桁の数字において、１のときは０に、それ以外のときは１にする。すると「0.011110...」という数が出来上がる。ここでの作業は別になんでもいい。２のときに０でそれ以外を２にするとかでもいいし、偶数なら１、奇数なら０にするとかでもいい。とにかく全ての桁が元の数とは違う数字になっていればいい。

ではこのできあがった「0.011110...」という数は一体なんなのか。この数は実は、全ての実数を並べたはずの列のどこにも存在しない新しい数なのである。どういうことか。並べて見てみよう。

0.011110...←新しい数

0.1415926...
0.7320508...
0.5000000...
0.3247195...
0.6180339...
0.7182818...
・
・
・

この数は、１行目の数とは小数点第一位で異なる。２行目の数とは小数点第二位で異なる。以下同文。100番目に並んでいる数となら小数点第100位で異なる。どこまで行ってもこの数の入るスキマはない。なぜならそうなるように作った数だから。

この状況はまさに先ほどあげた「無限玉入れ」の例と同じである。

自然数と実数のペアを一組ずつ作っていこうとしたら実数の方にどうしても余る数ができてしまった。これはつまり実数の方が自然数よりも濃度が大きい、ということにほかならない。

いまは０以上１未満の数だけでやってみたが、これが１以上２未満だろうが100以上101未満だろうがすべての実数の範囲において状況は同じである。かくして実数の方が濃度が大きいことが証明された。（大ざっぱに。ごまかしながら。この記事においては。）この対角線を使った証明法のことを「カントールの対角線論法」といい、かの有名なゲーデルの不完全性定理の証明などでも使われている。

この実数の濃度、またはそれ以上の濃度のことを指して「非可算濃度」、その無限のことを「非可算無限」という。実数の濃度のことを特に「連続体濃度」ともいう。また、自然数の無限の濃度のことを「アレフ０（無限レベル０、ぐらいの意味。「アレフノート」、「アレフヌル」、あるいは「アレフゼロ」と読む）」、その次に大きい無限の濃度のことを「アレフ１」という。アレフ２、アレフ３・・・というのも存在して、どんどん無限が大きくなってゆく。

連続体仮説

自然数の無限より実数の無限の方が無限レベルが大きいというのはこれまで説明してきた通りである。しかし、自然数の無限に対して「一段階」大きいやつが実数の無限である、ということには疑問の余地がある。もしかしたら２段階とか、100段階大きいのかもしれないということである。自然数の無限と実数の無限の中間の濃度を持つ無限が存在するかもしれない、ということであるともいえる。

19世紀に人類で初めてこの疑問を抱いたのが、この記事三度目の登場となるゲオルグ・カントールその人である。彼が提唱したのは「そんな中間の濃度の無限は存在しないよ！」ということであり、この仮説を「連続体仮説」という。これは長らくフェルマーの最終定理に匹敵するほど重要な未解決問題であった。

しかし1963年、この問題は一応の解決を見る。曰く、「中間の濃度が存在することは証明も反証もできない」。つまりそんな濃度が存在したとしても別に矛盾はしないし、存在しなかったとしても矛盾しない、ということが数学的に厳密に証明されたのである。

関連書籍

関連リンク

Wikipedia記事

• 濃度（数学）
• カントールの対角線論法
• 連続体仮説

関連項目

• 無限 / ∞
• 対角線論法 - 「対角線論法」「カントールの対角線論法」の記事はそのいい感じの記事ができるまでひとまずこの記事にリダイレクトしてある。
• 可算集合 - 「可算集合」という言葉はそれだけでふつう「可算無限集合」のことを指すが、可算は可算なので有限集合を含めることもある。
• 連続体仮説
• 公理的集合論
• 可能無限 - 可算無限と名前は似てるけど全く別の概念。
• 集合
• 数学

キーワード「可算無限と非可算無限」でニコニコ動画を検索

タグ「可算無限と非可算無限」でニコニコ動画を検索