ニコニコ大百科

どちらも完了する。ただし新しい数を生成するかどうかという点は異なる。

>>60
是非ともさわりだけでも教えてください

>>59 数学基礎論に詳しくないんで確かなことが言えないんだけど、選択公理の定義に似ている感じがしました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
現代の数学ではZFC公理系というのを採用しているのが多数派なのだけど、有限の操作しか許さないような公理系の上では、貴方の感覚に近い数学がやれるかもしれない（詳しい人いましたら解説お願いします…）。

対角線論法は選択公理を使わないよ
>>62
帰宅したら証明の概略を書いておく

対角線論法は選択公理を使わないんですね…不勉強失礼しました。
以下に自然数の集合Nと実数の集合Rが異なることのかっちりとした証明を置いておきます。

【定義】集合AとBの濃度が等しいとは、AからBへの全単射 f:A→B が存在すること。
NとRの濃度が等しくないことを背理法で示そう。
もし濃度が等しいと仮定すると、全単射 f:N→Rが存在する。
f(i) (i=1,2,…)を無限小数で表し、その小数点第i番目の数字をa_iとおく。
ただし0.2999…=0.3000…のように2通りの無限小数表示があるときは
0.3000…のように0を並べる表記を採用するものとする。
b_i=1 (a_iが偶数のとき), b_i=0 (a_iが奇数のとき)と定める。
このとき実数 r=0.b_1 b_2 b_3 … はRの元だが、任意のiに対し、f(i)とrは小数第i位が異なるので f(i)≠r。
よってf(i)=rとなるようなNの元iが存在しないので、fは全射でない。これは f が全単射だとした仮定に矛盾する。
よって背理法によりNとRの濃度は等しくない。[証明終わり]

42氏が言わんとしてる"証明"を上と同じように書いてみると次のようになります
" "で囲んだ部分がかなり数学的に曖昧で危ういことがわかります

NとNの濃度が等しくないことを背理法で示そうとしてみよう。
もし濃度が等しいと仮定すると、全単射 f:N→N が存在する。
b_i=f(i)+1 (i=1,2,…) とおく。集合 B ={b_i| i=1,2,…} とおく。
定義から、BはNの部分集合であり、Bは1を含まず、かつNと濃度が等しい。
"ゆえに"、"1を含まない分、代わりに何かがあるはず" である。
その何かとは "Bの最後の元" である。これを r とおく。"rはNに含まれない"。…

「a'⇒(ならば)b'」の反証
便宜上、自然数の集合をＮ, 実数の集合をＲと表記する.
自然数nの後者をs(n)と表記する.

・定義
1.{an}を対角線論法の表の実数に対応する数列とする.
2.{bn}を対角線論法の表の自然数に対応する数列とする.
3.Zb:={x|n∈Nに対してx=s(n)}.
4.a'⇔「Rの中には{an}に存在しない数が存在する」.
5.b'⇔「Zbの中には{bn}に存在しない数が存在する」.

・仮定
6.{a0, a1, a2, ...}=R.

・前提
7. 「a'⇒b'」の否定は「a'かつnot b'」.
8. n∈N⇒s(n)∈N.
9. {b0, b1, b2, ...}=N.
10.rを次のように定めるとr∈R. rの1の位は0,　任意の自然数n>0に対してrの小数第n位はanの小数第n位が1のときは0, それ以外のときは1.

・証明
11.7より「a'かつnot b'」を証明する.

・a'の証明
12.10より, 任意のn∈Nに対してanとrの小数第n位は異なり, an≠r. 6より, not(r∈{a0, a1, a2, ...}(=R))かつr∈R. よって⊥(矛盾). 従って仮定6は偽であり, a'は真.

・not b'の証明
13.3より, 任意のx∈Zbに対してあるn∈Nが存在してx=s(n). 8, 9より, x∈N={b0, b1, b2, ...}. よってnot b'は真.

#かなり荒削りな証明だが、不明な点があるときは1～13の何番が理解できないのか言ってね。

>>67
証明ありがとうございます
お言葉に甘えてひとつ質問を。前フリが長いですが...

b'は有限の範囲では真ですが、無限の時に偽になります
a’もそれと同様に有限のときでは真ですが、無限の時には偽になる可能性があるので、a’について考えます

{an}に対角線論法で作成したｒを加えた{an}’を作ります
{an}'を再度対角線論法を通すとr'、同様にr''、r'''が作れます

表に次の値があるなら表の次の値、表に次の値がない場合は対角線論法を使ってできる値を次の値とします
これを利用して無限公理を適用したものをAnとします

b’が偽になる根拠は無限公理ですよね？

nを含み、n+1を含むのが無限公理です
この方法でAnを適用すれば13.と同様に、r∈Anとなり、a'が偽となるわけですが...

仮に上記の方法での無限の作成方法がおかしかったとしても、
表の実数部は別の何からの無限を表す公理を含んでなければおかしいですよね？
含んでいなければ有限と解釈するしかないです

自然数に最大値がある、という意見と同様
67の証明では12.=a'も、リストが有限の時でしか成立しないように見えます

67の証明だと、「“なんとかしてすべてをリスト化した”という方法では、有限個のリストしか作れなかった」
というだけに見えます。

番号がついてない部分で申し訳ないのですが(あえていうと1.)、
表の実数部の「リストの個数」が無限である根拠について教えてください

>>67
意味不明。
・{an}'を再度対角線論法を通す→{an}'に再度対角線論法を通す
・次の値って何？
・無限公理って何？
・これを利用して無限公理を適用したものをAnとします←意味不明
・b’が偽になる根拠は無限公理ですよね？←意味不明
・nを含み、n+1を含むのが無限公理です←意味不明
・この方法でAnを適用すれば13.と同様に、r∈Anとなり、a'が偽となるわけですが...
↑後半でAnを集合として扱っているが、前半でそれを適用するとしている。が、集合を適用するという行為は存在しない。で、いつの間にか意味不明な理由でa'が偽となっている。
・無限の作成方法とは何か。
・表の実数部は別の何からの無限を表す公理を含んでなければおかしいですよね？
↑意味不明。無限を表す公理とは何か？あとただの数列が公理を含むということはありえない。
・含んでいなければ有限と解釈するしかないです←意味不明。
・自然数に最大値がある、という意見←どこから出てきた？
・12.=a'も、リストが有限の時でしか成立しないように見えます
↑「も」ってなんだ？あと「12.=a'」はリストが有限でなくても成立しない。なぜなら、12.は証明の手順、a'は命題であり、文法上性質が異なるから。
・67の証明だと、「“なんとかしてすべてをリスト化した”という方法では、有限個のリストしか作れなかった」 というだけに見えます。←見えるだけ。
・表の実数部の「リストの個数」が無限である根拠について教えてください
↑自然数と同じ数だけ並べたから。自然数が無限なのは、真部分集合である偶数の集合と対等だから。

安価ミス。>>67ではなく>>68です。

>>68
a'に関して、対角線論法で作った{an}に無い数を足して{a'n}を作って、そのまた{a'n}に無い数を足して……という作業の極限として{An}という数列を想定すると言うことで良いかい？
({an}に無い実数を作る方法は他にも無数にあるから色々言いたいことはあるが)
そうすると「この{An}にはどんな作り方をした実数(rやr'など)も含まれるからそれを{an}に置き換えればa'(及び6)は真である」と主張したい訳だね。
しかし、{an}を{An}で置き換えた場合も、10のような実数rは構成可能で、6が偽であることが証明される。
これは>>67と矛盾しない。
(ついでに言うと6を仮定すると{an}={An})

あと、>>69氏も指摘しているように、「無限公理」などの周知ではない用語を使う時は議論の円滑を図るためにその定義を添えるのが良いよ。
ここでは最大限善意的に解釈して無限公理なる物が8であると想定して話を進める。

>>(無限公理を)含んでいなければ有限と解釈するしかないです
公理(≠定理)というのは数学の議論の全てに及ぶ物なので、自然数論を含む議論をしている以上この文の仮定は偽(何故なら普通8は自然数の公理の一)。
つまり「有限と解釈するしかない」とする根拠にはならない。

>>67の証明では12.=a'も、リストが有限の時でしか成立しないように見えます
>>67の証明で{an}が有限っぽく思われたのならなおさら12の証明に信憑性を与えることになると思うのだが。つまり「P⇒Q」と言う証明を読んで君は「『Qだから￢(not)P』なんじゃないの？」という誤謬を犯している。「Q⇒￢P」⇔「P⇒￢Q」だから、全く見当違いの推論をしていると言うことを自覚するべきだ。

>>表の実数部の「リストの個数」が無限である根拠について教えてください
別に{an}が無限列であることはこの証明において必要条件ではない。
(が、6を仮定すれば容易に証明可能)

今後も異論があるようなら1～13の内のどれのどの部分が偽であるのか(できれば証明も添えて)指摘してね。もしそれができない場合、(>>67がまがいなりにも証明として体をなしている以上)その指摘は、全て、今回のように、君による(数学ではなく)論理学の基本的な事柄に関する勘違いによる物だから。(これを決して排他的な発言だとは捉えないで欲しい)

流れ切って悪いけど記事中の自然数と分数の対応が間違ってるな。分数の側に真分数しか登場していない。

あと小数の位の名前は「小数点第一位」ではなく「小数第一位」だ。

>>69
一番ほしかった問題には答えてくれてありがとうございます
ランダムに採取するだけで簡単に可算無限が作れるので
有理数等もランダムで採取するだけで可算無限といえそうですね

>>71
説明ありがとうございます

わからないのはここだけになりました
>>別に{an}が無限列であることはこの証明において必要条件ではない。

対角線論法において、「リスト化をする」というのは破壊的操作であって、
少なくとも非可算無限を可算無限以下に変化させています
特に減り方の明言がない限り、有限集合にまで変化させているかもしれませんよね



65,67の証明において、リストのサイズ({an})を仮に5個としても、
特に無変更で成立しているように見えます

その場合、Rは有限より大きいことを証明していることになってしまうので
{an}が無限であることは必須であると思うのですが、違うのでしょうか？

>対角線論法において、「リスト化をする」というのは破壊的操作であって、
↑妄想。

>特に減り方の明言がない限り、有限集合にまで変化させているかもしれませんよね↑背理法の仮定として、可算であると明言している。

>その場合、Rは有限より大きいことを証明していることになってしまうので {an}が無限であることは必須であると思うのですが、違うのでしょうか？
↑自然数の集合Nより大きいことを証明しているだけなので、問題ない。

>>73

>>Rは有限より大きいことを証明していること
と「{an}が無限列であることはこの証明の必要条件ではない」ことは別に相容れないことではないのだから、君の指摘は間違い。
「必要条件ではない」と言っただけであって「{an}は有限列である」と言っている訳ではないよね。
{an}が有限列でも無限列でもどちらを仮定したとしても、a'は常に真になるってこと。
あと、「破壊的」とか「必須」とか君にしか分からない言葉は数学の議論ではあまり使わないでね。

>>74
つまりRは完全にリスト化できると。すばらしい

>>75
対角線論法は、Rが常に可算無限より大きいことを求めるのが目的です
a'が無限列とは限らない場合、次の2つのちょっとした問題が出ます。
・{an}を満たす有限列は存在するが、結果的に条件を満たす無限列が一例も存在しなかった場合、a'は真ですがa'だけではRが可算無限より大きいとはいえなくなります。

・Aという条件下では常に{an}が有限でRが可算無限、notAという条件下で{an}が可算無限でRがそれより大きいという条件Aが存在するのであれば、a'は真ですがRが常に可算無限より大きいとはいえなくなります。

{an}の無限列は、目的を考えれば少なくとも一例をあげる必要があるわけです
Rを漏れなく出現する可能性は残しつつ可算無限という無限列は作れないんじゃないかと思ってました
漏れなくという条件が不要なのかな？

まあこれについては余談ということで。

いろいろ聞けて満足したので、私からはそろそろ終わりでROM化します
教えてくれた人ありがとう
特に75さんは本当にありがとう

ざっと見た感じだと>>42の人って対角線論法の最初の実数を並べるところで、"全ての"実数を並べてるって勘違いしてるみたいだね。

実際の記事では全ての自然数に対して任意の実数をペアにしてもあぶれる実数がでる(可算無限個のリストでは全ての実数をリストアップできない)ということを書いている。

0以上1未満である実数n個の集合A_n={a_1, a_2, ..., a_n}を考える。
任意のk∈{1, 2, ..., n}に対して、a_kと異なる小数第k桁をもつ数(小数第k+1桁以降は適当に決める)を考えると、この数はA_nに含まれない。

そこで、この数をa_n+1として、実数n+1個の集合A_n+1={a_1, a_2, ..., a_n, a_n+1}を考える。
任意のk∈{1, 2, ..., n, n+1}に対して、a_kとは異なる小数第k桁をもつ数(小数第k+2桁以降は適当に決める)を考えると、この数はA_n+1に含まれない。

そこで、この数をa_n+2として、実数n+2個の集合A_n+2={a_1, a_2, ..., a_n, a_n+1, a_n+2}を考える。
～以下無限ループ～

というわけで、nを無限に大きくしていっても(n→∞としても)必ず集合Anに含まれない実数が存在する。
ゆえに、実数は非可算である。

(自然数の集合A_n={1,2,3,...n}に対してそれに含まれないn+1が存在する、というのとは違う。nを無限に大きくしていけばA_nは自然数全体の集合になるため)

無い頭で考えてみたが、こういう感じでどうだろう。違う気もする。

>>78
その議論は、「任意の自然数nについてAnに含まれない実数が存在すること」の証明にはなるけども、「n→∞の時のAn、つまり∪_{n=1}^{n=∞}An（全てのAnの和集合）に含まれない実数が存在する」の証明にはなっていないのでは無いだろうか。

次の例を見てみると分かりやすいかも。
Bn={1,…,n}とすると、「任意の自然数nについてBnに含まれない自然数が存在する」。一方で、「n→∞の時のBn、つまり∪_{n=1}^{n=∞}Bn（全てのBnの和集合）は自然数全体に一致する」。つまり、n→∞の時のBnに含まれない自然数は存在しない。

つまり言いたいのは、「任意の自然数nで成立」と「n→∞で成立」は違うってこと。

>>79
「n→∞の時」がおかしくないか。
無限大に一致するようなnの存在を仮定するのならばそれは既に自然数ではない。
n→∞はnが無限に増大していくプロセスだと解釈するならば、>>78の作業は永遠に終わらないんだからそれは真偽を判定できてない。

言い換えれば、nが無限に増大する過程で”任意の”nに対して集合Anに含まれない実数が存在することを指摘することはできるけど、”全ての”nについてAnに含まれない実数が存在するかどうかは証明できない。

いやぁよくできてるわ

>>80
一言だけ。

『無限大に一致するようなnの存在を仮定するのならばそれは既に自然数ではない。』

→　ここの部分の認識は違うと思うよ。極限を考えることは『無限大に一致するようなnの存在を仮定する』、さらに言えば『無限大という数が存在すると仮定する』こととは異なる。

というか、『無限大』という数を仮定しなくても極限は定義出来る。
例えば、実数においては「無限大」という数は存在しないが「極限」は定義できる。何故なら、『どんなに大きな数を取ってきても』という形で「無限大」を言い換えることが出来るから。

>>80
ごめん追記。

言いたいのは、「極限を考えること」は「無限大（無限小）の存在を仮定する」とは異なるという事で、少なくとも自分が言っている範囲（>>79）では、「無限大」という数は使っていない。

例えば「∪_{n=1}^{n=∞}Bn」という表記も、結局の所「∪_{n∈自然数}Bn」に直せる訳で、「無限大（∞）」という数は実質的には使っていない。「n=∞」はあくまでも便宜的な書き方。（こういう書き方はよく使う）

これは一般的な数学の体系では普通の考え方なんだけど、『私が正しくてあなたが誤っている』とか言いたいんじゃなくて、『「無限大」という数の存在を仮定しなくても、「極限」は考えられるよ』という事が伝えたかった。

>>82-83
Bn={1,…,n}が自然数全体の集合と等しく（nより大きな自然数が存在しない）、かつn=∞でない自然数nが存在するならnは自然数の最大の値である。
しかし自然数の最大の値は存在しない。
よって>>82-83は誤り。

横槍だけどn=∞は便宜的に使っているだけと書いてあるのに何故前提に"∞は自然数"を盛り込んでしまうのか

謎の俺理論

ポッと思いついたんですけどね。
紙を折るときに確認できない裏面（表面に対し）が、
次に折った時には半分確認できる。これを何回かやったら原子
レベルにはなるけど、逆に還元していくとき、巨大な紙の最初
を知るのに必要な概念だなぁ、と。
数学は全然分からんので証明の議論見ててもちんぷんかんぷんですわ。

そもそも私思うんですけども、
実数に実体のない数字を加えて無限に＋１しても
いいんでしょうか。
実数に対して実数しか比較対象がないのが悔やまれる
ところですね。

実体のない数とは何？
無限に+1とはどういうこと？誰も足し算してない
実数に対して実数しか比較対象が無いとはどういう意味だろう？実数と同じ濃度を持つ集合もそれより大きい集合も勿論存在するが

>>87
原子でも太陽でも銀河の集まりでもしょせん有限。無限VS無限で比べるこの記事とは無関係
なお数学の無限は「使いこなして当たり前」な一種の道具（※ただしエラーの温床なので取扱注意）

>>88
「実数と同じ濃度の集合」も「もっと大きな濃度の集合」も「もっと小さな濃度の集合」もぜんぶ無限個ある
比較対象ありまくり

まあ数学ではよく出てくる話だけど、科学にとってはほぼ無意味
素粒子物理学や宇宙論みたいな究極的・壮大な分野にさえ無関係
そこが虚数と違う点