アキレスと亀

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    421 ななしのよっしん

    2015/07/18(土) 00:16:04 ID: ujev4kyZBh

    そもそも数学的な点という発想が実在するという立場に立つと、アキレスと亀みたいな現実とは矛盾した結論になるっていうパラドックスの問題に、「数学的な解決」なんて何の意味があるんだ？

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    422 ななしのよっしん

    2015/07/18(土) 04:00:08 ID: pIIpMepHff

    >>421
    ゼノンの立場からすると意味はないと思います。ですが、哲学に関心のない一般人レベルの前提・世界観からすると、記事のような話でも一般人の直観に反することへの説明にはなっています。
    ゼノン・ゼノンの対立者・一般人の3種類の異なる世界観・前提(公理系)を区別せずに議論すると、これまでのように無限ループになるので、前提によって議論の場所自体を分けたほうがいいと思います。

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    423 ななしのよっしん

    2015/07/18(土) 08:31:52 ID: W4RSt2EM2h

    >>421
    それだけ数学が便利だからな
    そして数学は無限のプロセスを辿ってもいつどこで追いつくかを求めることができるようになった
    数学抜きで現在の物理の代替たりえる物理はできるのだろうか？

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    424 ななしのよっしん

    2015/07/20(月) 19:20:41 ID: nRPn8aCo4Y

    >>419
    両者の間には無限の点があるので、点の数では両者を区別することができない。
    だから両者を区別するために距離という概念を導入している、という話。

    位相幾何学的な解釈では、無限の点で一直線につながった2点と、単なる1点さえも同じものと解釈される。
    間に無限の点を見出すというのなら、2点が離れている状態と2点が重なっている状態は「同じ」

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    425 ななしのよっしん

    2015/07/23(木) 07:38:32 ID: nRPn8aCo4Y

    記事の説明2を見てふと思った。緑線の部分でしか議論できない問題のときはどうするのかと。

    ・ある高さからボールを落下させます。ボールは床に衝突すると1/2の速度で跳ね返ります。
    どんなに小さい速度でも、ボール床に衝突すると速度を持って跳ね返るはずです。
    しかし実際にはボールは無限回跳ね返るループを抜け、ある時刻からは跳ね返りません。ナンデ!?

    説明6で言いたいことはこういうことだろう。

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    426 ななしのよっしん

    2015/07/23(木) 08:06:44 ID: W4RSt2EM2h

    >>425
    跳ね返るボールだとアキレスと亀と同じく、極限で有限と説明できる
    0以下をとる値に対数を使おうとしているようなもの

    10^xはxに何を入れれば無限や0になるのか、ならまだわかる

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    427 ななしのよっしん

    2015/07/27(月) 02:48:38 ID: iZc2kKzXGa

    >>425
    現実との比較であるならば、計算式で摩擦等を無視しているから矛盾が生じている
    具体的には
    1．ボールが床にぶつかると、ぶつかった衝撃は一部熱に置き換わる
    2．ボールが変形する事にエネルギーは消費される
    3．上下に移動する際に空気との摩擦によりエネルギーは損なわれる
    物理に詳しくない自分でも3つ挙げられるのだから、実際にはもっとあるのではないかな

    もちろん理想空間であっても、>>426の指摘になるから変わらないのだけど

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    428 ななしのよっしん

    2015/07/28(火) 08:25:57 ID: W4RSt2EM2h

    >>427
    >>425のは跳ね返り速度が減る（反発係数が1未満、力学的エネルギーが減る）モデルだから、
    摩擦等も(単純化されているが)入っている

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    429 ななしのよっしん

    2015/07/28(火) 22:09:03 ID: iZc2kKzXGa

    >>428
    なるほど、しかしそれでも現実との齟齬は単純化され過ぎた事によってやはり生じるのでは？

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    430 ななしのよっしん

    2015/07/29(水) 19:12:14 ID: W4RSt2EM2h

    >>429
    求めるものが得られるなら、単純なモデルの方がいい(説明しやすいし理解されやすい)
    アキレスも亀も等速運動はしないだろうが、等速モデルで「追いつけない」の再現と「追いつける」説明ができ、事足りる
    言えることが変わらないなら、精密な物理演算を使うまでもない

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    431 ななしのよっしん

    2015/07/30(木) 02:39:32 ID: iZc2kKzXGa

    >>430
    なるほど

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    432 ななしのよっしん

    2015/09/25(金) 01:05:54 ID: XdawsXljsD

    もう何だかよく分からない
    とりあえず「亀に追いつくまでの時間が限りなく分割できたとしても、その分割した時間一個辺りの長さは限りなく短くなるから、限りなく短い時間を限りなく繰り返してりゃいつかアキレスさんは亀抜かせるんじゃね？」って持論を残して去る

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    433 ななしのよっしん

    2015/09/26(土) 23:34:37 ID: WhPla1Pp5m

    何だかよく分からないってことはわかるけど
    限りなく短い時間を限りなく繰り返すと追いつけないんだよ
    追いつけないことを書いた文章だからな

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    434 ななしのよっしん

    2015/10/08(木) 23:50:11 ID: def2RwfDHc

    アキレスと亀が離れているということは、つまり
    2点の間には無限の点を見出すことができるということです。

    そしてアキレスが亀に「追いつく」ということは、つまり
    両者が重なって2点の間には点が無くなるということです。

    しかし、アキレスがいくら亀を追いかけつづけても
    2点の間に見出せる点の数は無限のまま減ることはありません。追いつく瞬間を除いては。

    つまり追いかけることと追いつくことの間には因果関係が無いのです。
    だからアキレスと亀の追いかけっこを無限に繰りかえせば
    無限の彼方で追いつくはずだという話には説得力がありません。

    なぜ2点の間に無限に存在していた点が突然0になるのか、その理由を論理的に説明する必要があります。

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    435 ななしのよっしん

    2015/11/02(月) 01:19:00 ID: fSUdXZlgX8

    >>434
    「追いかけることと追いつくことの間には因果関係が無い」
    これが分かっているなら疑問もないのでは？

    名言はされていないが、前提条件に「試行毎の時間を、試行回数に伴い無限に分割する」というものがあるのだから、際限なく試行が繰り返されるのは当然
    つまり、特殊な条件下の話なのに「現実では・・・」などと言い始める詭弁って事

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    436 ななしのよっしん

    2015/11/02(月) 22:28:43 ID: def2RwfDHc

    >>435
    それはつまり
    もし時間を無限に分割できるならば、アキレスが亀に追いつけないのは当然であり
    それに反して、現実でアキレスが亀に追いつけるのは
    現実世界の時間は、無限には分割できないからである、という主張ですね。

    そういう主張もアリなんではないでしょうか。

    ただ、この問題の議論を議論をしている人は
    「現実世界でも時間を無限に分割できるはずだ」という暗黙の前提に従って議論をしていると思うので
    その人たちにとっては、あまり役に立たない回答のようです。

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    437 ななしのよっしん

    2015/11/02(月) 23:05:30 ID: W4RSt2EM2h

    >>432
    そうでもないんだな
    1/nはnを無限に近づけると0になるけど、1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・は有限にならない

    >>434
    連続な世界で不連続なことがおこるのがおかしいということ？
    場合分けすれば境目ではそうなるんじゃない
    「無限の点を見出せる」を全部同じと扱うのは1=2と言うのと同じだろうよ

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    438 ななしのよっしん

    2015/11/03(火) 00:11:22 ID: pIIpMepHff

    >>436
    > この問題の議論を議論をしている人
    にID: def2RwfDHcが含まれてID: W4RSt2EM2hが含まれないのは察しがつきますが、>>422でいうどの立場(公理系)に属する人のことでしょうか。

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    439 ななしのよっしん

    2015/11/05(木) 15:40:56 ID: fSUdXZlgX8

    >>436
    違う違う
    現実でも時間は無限に分割できるよ
    秒や分なんて単位は所詮はかりでしかないんだから

    その点は大した問題じゃなくて、「使うワードは同じだけど、突然に全く別の状況の話を始める」という詭弁って事

    A、「10秒で１M進む」という行為を「最初の5秒で0.5M」「次の2.5秒で0.25M」「次の1.25秒で・・・、というように分割する試行を無限に繰り返す事
    B、10秒で1M進む、という事

    この二つは比べる意味が無いでしょ？

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    440 ななしのよっしん

    2015/11/10(火) 23:27:55 ID: QU+/Jnf/LY

    １前にいる亀が１進む間に、アキレスは２進む
    つまり１前にいる亀が２進む間に、アキレスは４進む。
    あ、追い越した……。

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    441 ななしのよっしん

    2015/11/28(土) 02:40:03 ID: CLR+KhOXZn

    ジョジョの赤ん坊か

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    442 ななしのよっしん

    2015/11/28(土) 23:50:17 ID: fSUdXZlgX8

    >>441
    あれの場合は赤ん坊に向かうにつれて体が縮んで進める距離が小さくなるから、アキレスと亀とはちょっと違う

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    443 ななしのよっしん

    2015/11/30(月) 00:08:52 ID: def2RwfDHc

    >>439
    現実世界でアキレスが亀を抜かそうとするならば、アキレスは亀との追いかけっこを、必ず実際に行わなければなりません。

    そして、アキレスが亀の位置にたどり着くと、亀がそのわずか先にいるという事態は、現実に必ず発生するはずです。

    だから「比べる意味が無い」とか「詭弁だ」と言って、それから目を背けて、説明を回避しようとすることのほうが詭弁だと言えます。

    亀のほうが、常にアキレスよりも僅かに先にいるはずなのに、どうやってアキレスが亀を抜かすのか、その説明が誰にもつかないのに、なぜかアキレスは亀を抜かす。だからパラドックスなのです。

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    444 ななしのよっしん

    2015/11/30(月) 18:51:47 ID: pIIpMepHff

    >>443
    >>438でもお伺いしていますが、ID: def2RwfDHcは>>422でいうどの立場(公理系)に立って語っておられるのでしょうか。

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    445 ななしのよっしん

    2015/12/01(火) 07:32:02 ID: fSUdXZlgX8

    >>443
    う～ん、この掲示板でさえ何度も言われてるんだけどなあ・・・
    この命題は「無限に続ける事が出来る試行」を勝手に作って勝手に不思議がってるだけなんだってば
    「無限」という現実世界では見ない物でペテンにかけてるんだね
    頭の硬い人は「無限」という文字が出てきただけで「無限なんて存在しない」という思考回路にスイッチしてしまうからマトモに考える事が出来なくなるんだと思う
    これからその固定概念を崩せそうな考え方を説明する

    観測者がストップウォッチを持っているとして、これが時間を刻んでいる間だけアキレスと亀は動けるとしよう
    この解釈は時間の進みを明確にしただけで何ら命題と結果に影響は与えない、これはいいね？
    で、あなたが言っている"亀のほうが、常にアキレスよりも僅かに先にいる"っていう状況が何故起こるかというと、アキレスが亀に追いつくより前にストップウォッチを細かくスタート・ストップしてるからなんだよ
    アキレスと亀の距離が縮まるにつれてスタート・ストップの感覚も縮めていく
    速度は一定だからそりゃ追いつけない
    進みたくても進める時間がだんだん小さくなっていくんだからね
    しかもその「縮め方」は1/2のn乗だからアキレスが亀に追い付いてしまうまでの時間を使い切る事無く、無限に続けられる・・・
    「無限」が理論上は現実にも存在する事が分かったよね

    で、ここまでくれば何故「追いつけるのか」も分かるよね
    「謎の試行をしない場合の話をしているから」というだけ
    例えの上で言えば、追いつけるまでストップウォッチを止めないからだ

    それとねえ、詭弁に対して「これは詭弁だ」と言う事が詭弁とかいう意味不明な主張は本気で言ってるのかい？
    説明を回避と言うけど、詭弁だと結論付けるまでに長々と説明をしているよ？読んでない？

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    446 ななしのよっしん

    2015/12/03(木) 21:00:48 ID: W4RSt2EM2h

    >>445
    要するに物差しの作り方・使い方だよな
    このパラドックスでは追いつくまでの有限な長さの、無限の目盛りがある物差しというわけだ
    対数目盛りは便利だけど、扱える範囲には限界があるから使いどころを間違えると役立たずになる

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    447 ななしのよっしん

    2015/12/08(火) 14:26:35 ID: YEtBJC3aB9

    解説がネタバレ扱いでワロタｗｗｗ

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  • レスメニュー

    448 ななしのよっしん

    2015/12/19(土) 22:06:30 ID: wEdcvqV7Ls

    亀がアキレスが1秒で追いつくところにいるとして、亀がアキレスの半分の速さで逃げているとしたら1+1/2+1/4+1/8…で2秒より先が取り扱えないなら駄目ってことでok?

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    449 ななしのよっしん

    2015/12/28(月) 02:39:29 ID: def2RwfDHc

    >>445
    それは、やはり説明を回避するための詭弁です。

    なぜなら、アキレスが亀の位置に進むと、亀は僅かに進んでいるという事態は
    絶対に発生するはずだからです。

    頭が固いとか、柔らかいとか、それは全く関係がありません。
    現実に発生することなので、その現実から目をそむけて、説明を回避することはできません。

    しかし、現実にはアキレスは亀を抜きます。
    ストップウォッチをスタート・ストップしつづけているにも関わらず、なおかつ亀を抜かすのです。

    では、いったいどうやって抜かしたのですか？
    それを説明して下さい。

    それとも貴方は、アキレスが亀の位置に進むと、亀が僅かに進むという事態は
    現実には発生するはずがないとでも主張するのでしょうか？

    であれば、それが何故発生しないのかを説明してみてください。

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    450 ななしのよっしん

    2015/12/29(火) 14:59:15 ID: nRPn8aCo4Y

    オーケー、アキレスが亀に追いつかないって言い張るなら、すごく小さい距離を測れる物差しを持ってこい。
    その物差しで測れる最低の距離より常に距離が空いてるなら追いつかないって認めてやるよ。
    ……な?測りきれないだろ?だったらもう0でいいだろ。追いつくって言えよめんどくさい。

    ↑数学的に説明しようとすると、極限を使う以上結局これが限界なんだが。

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