全ての素数の積単語

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全ての素数の積とは、数学の問題である。2014年ツイッターなどで広まった。

概要

議論の発端は、コロプラ提供するクイズゲーム魔法使いと黒猫のウィズ』で次のクイズが出題されたことである。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

ゲーム側が正解に設定していたのは「2.偶数」だった。しかし、数学的にそれは正しくないと反論する者が現れた。に「2.偶数」と「4.どちらでもない」で意見が割れたが、その他の選択肢が正しいというもあらわれた。

それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

2.偶数

1.奇数

  • 2×3×5×7×11×…
    =(2-1)×3×5×7×11×…  ←奇数
      +(3-1)×5×7×11×…  ←偶数
        +(5-1)×7×11×…  ←偶数
         +…+…
    上記のように式変形を行うと「奇数+偶数+偶数+…」となる。
    有限個の素数の積であれば最終項に奇数が現れる(総和は偶数になる)が、素数無限に存在するため最終項が出現せず、計算結果は奇数となる。

3.どちらの場合もある

  • 全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=(奇数)=(偶数)となる。式変して好きな方を選べばよい。
  • 同様の式変形を偶数の項に繰り返し適用することで任意の回数だけ奇数の項を作ることができる。

4.どちらでもない

  • 無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には関係。
  • 定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対外。
  • 全ての素数の積を自然数Nとすると、N+1は自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れく列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。背理法からNは自然数ではないので、仮に何かに収束したとしてもそれは偶数集合には含まれない。
  • ゼータ関数に解析接続すると4π2になる。これは整数ではないので偶数でも奇数でもない。

解答不能

  • 問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
  • 全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。
  • 定義できないものに回答することはできない、つまり質問は全ての素数の積を「数」としてとして扱っているがそのような「数」は存在しない。存在しないものをどう回答しても存在すると決めつける多重質問の誤謬であり回答不能

いずれも一見するともな解答である。あるいは詭弁と感じるが何がマズいのか直感だけでは説明できない。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいはなぜ正しいと言えるのか、摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

回答

4.偶数でも奇数でもない」が正解である。一番強な論拠は、

全ての素数の積を自然数Nとすると、N+1は自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れく列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。
背理法からNは自然数ではないので、仮に何かに収束したとしてもそれは奇数集合にも偶数偶数集合にも含まれない。

である。この回答は現代数学で確定した正解であり、高校数学までの知識でも容易に導ける。


前述した解析接続はあくまで「テイラー展開表示をしてある複素関数は係数次第で定義域が限定されてしまうが、展開の中心を変更することで関数定義域を広め、元の関数を含むより定義域の広い関数へ解析的に接続する作業」であり、その副産物として発散するような数列であっても形式的に特定実数と対応付けることができる、というものである。「解析接続は全ての素数の積を実数4π2に収束させる技術」というわけではないので、論拠としては不適切であろう。

改題

ゲーム側が設定した「2.偶数」が正答となる問題は下記などが考えられる。

  • 100までの素数を全てかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
  • 100までの素数を全てかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
    • 掛け合わせる素数を有限個に限定してさえいれば、「10000まで」「1000までの素数」など最大値はなんでもよい。
  • 現在見つかっている全ての素数をかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
    • 素数無限に存在することはわかっているものの、現在までに発見されている素数に限れば有限個に限定できる。

これらの問題文であれば無限大に発散することなく積を定義できる。当然、その中に「2」が含まれていれば間違いなく偶数である。

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全ての素数の積

471 ななしのよっしん
2024/04/15(月) 23:42:13 ID: 1Z6mDhwNdW
全ての素数をかける

素数無限にあることが明されてるので
2×3×5×7×11×…×(β)×(α となる ← うん?

複素数として扱えないので当然偶数でも奇数でもない ← ???
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472 ななしのよっしん
2024/04/16(火) 00:33:27 ID: aGlcqSDmyV
素数ロマンだよね、いつかロマンじゃなくなるだろう所も含めて
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473 ななしのよっしん
2024/04/16(火) 03:51:09 ID: Egav+ThHub
>>470
「全ての素数を漏れなく列挙している」という、訳の分からん前提からスタートしたので、訳の分からんことになりました、ってのが正解
専門じゃないが、多分な
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474 ななしのよっしん
2024/04/19(金) 00:57:56 ID: YCBnQ1WFAS
>>473
列挙出来ない無限個のものを掛け合わせるのは
極限使うから大丈夫
結果はなんだけど、
全ての偶数を掛け合わせても同じになる
全ての奇数を掛け合わせても同じになる
こんなもん偶数奇数決められないよねって話
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475 ななしのよっしん
2024/04/21(日) 13:12:29 ID: UbvcZ/NaM0
高校数学までだと無限大の取り扱いやらないからなあ
無限級数無限というものは出てきはするけど
答えが無限になる場合は「無限大」が答えじゃなくて「発散する」が答えで、それ以上の議論はしないのがルール

あと高校数学までだと自然数も明確な定義をすることなく具体例を上げるだけにとどまるから
この記事の回答の「自然数ではないから偶数でも奇数でもない」はスッキリはしない
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476 ななしのよっしん
2024/04/27(土) 13:21:49 ID: UbvcZ/NaM0
整数」の記事内で

整数整数を、足したり掛けたり引いたりしても、その結果は絶対に整数になる。
なので、+、×、-を使った計算は整数世界だけで説明することができる。」
この感覚でいくと、素数自然数であり自然数整数だから
全ての素数の積」は2がかけられた整数だからかなり偶数っぽく感じる

一方で整数を『無限に』+、×、-を使った計算をすると整数じゃなくなるじゃないか
って話も正しいし、「全ての素数の積」の記事内ではだから「どちらでもない」が回答とされてる

で、なにが悪いかって言うと高校数学までだとやっぱり無限の取り扱いはやりきらないので
(矛盾する話がどっちも正しいとなる)、無限がでてくる場合は問題文側が注意しなきゃいけない
やっぱりこのクイズクソみたいな悪問
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477 ななしのよっしん
2024/05/06(月) 20:07:09 ID: cKGdocosqU
よくわからんけど、「全ての素数の積偶数である」っていう事公理化しちゃいかんのか?
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478 ななしのよっしん
2024/05/09(木) 12:38:27 ID: UbvcZ/NaM0
>>477
素数無限にある」ことを前提とすると「全ての素数の積」は無限大になる
無限大に対して偶奇性があてはまるような公理作っちゃうと色々と大変なことになるのでいかんでしょとなる
どう大変なのかは高校数学までではやらない(無限大を扱わない)のでわかりにくい話ではある
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479 ななしのよっしん
2024/05/09(木) 21:22:14 ID: ZNtfas3N5H
まず無限積を数学的に厳密な形で定義しないことには偽の定まるにならないからなあ
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480 ななしのよっしん
2024/05/11(土) 20:14:22 ID: 4CvsLnj1nz
この悪問、今は存在するのだろうか?もしくは消えたのならいつ頃なのだろうか?
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