全ての素数の積単語

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全ての素数の積とは、数学の問題である。2014年ツイッターなどで広まった。

概要

議論の発端はコロプラ提供するクイズゲーム魔法使いと黒猫のウィズ」で次のクイズが出題されたことである。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

ゲーム側が正解に設定していたのは「2.偶数」だった。しかし、数学的にそれは正しくないと反論する者が現れた。に「2.偶数」と「4.どちらでもない」で意見が割れたが、その他の選択肢が正しいというもあらわれた。それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

2.偶数

1.奇数

  • 2×3×5×7×11×…
    =(2-1)×3×5×7×11×…  ←奇数
      +(3-1)×5×7×11×…  ←偶数
        +(5-1)×7×11×…  ←偶数
         +…+…
    上記のように式変形を行うと「奇数+偶数+偶数+…」となる。
    有限個の素数の積であれば最終項に奇数が現れる(総和は偶数になる)が、素数限に存在するため最終項が出現せず、計算結果は奇数となる。

3.どちらの場合もある

  • 全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=(奇数)=(偶数)となる。式変して好きな方を選べばよい。
  • 同様の式変形を偶数の項に繰り返し適用することで任意の回数だけ奇数の項を作ることができる。

4.どちらでもない

  • 無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には関係。
  • 定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対外。
  • 全ての素数の積を自然数Nとすると、N+1は自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れく列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。背理法からNは自然数ではないので、仮に何かに収束したとしてもそれは偶数集合には含まれない。
  • ゼータ関数に解析接続すると4π2になる。これは整数ではないので偶数でも奇数でもない。

解答不能

  • 問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
  • 全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。

いずれも一見するともな解答である。あるいは詭弁と感じるが何がマズいのか直感だけでは説明できない。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいはなぜ正しいと言えるのか、摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

回答

高校数学までの範囲で得られる回答は「4.偶数でも奇数でもない」である。

一番強な論拠は、

全ての素数の積を自然数Nとすると、N+1は自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れく列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。
背理法からNは自然数ではないので、仮に何かに収束したとしてもそれは偶数集合には含まれない。

である。

高校数学の範囲を外れると解析接続を考えることもできるが、これはあくまで「テイラー展開表示をしてある複素関数は係数次第で定義域が限定されてしまうが、展開の中心を変更することで関数定義域を広め、元の関数を含むより定義域の広い関数へ解析的に接続する作業」であり、その副産物として発散するような数列であっても形式的に特定実数と対応付けることができる、というものである。
「解析接続は全ての素数の積を実数4π2に収束させる技術」というわけではないので、論拠としては不適切であろう。

改題

ゲーム側が設定した「2.偶数」が正答となる問題は下記などが考えられる。

  • 100までの素数を全てかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
  • 100までの素数を全てかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
    • 掛け合わせる素数を有限個に限定してさえいれば、「10000まで」「1000までの素数」など最大値はなんでもよい。
  • 現在見つかっている全ての素数をかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
    • 素数限に存在することはわかっているものの、現在までに発見されている素数に限れば有限個に限定できる。

これらの問題文であれば無限大に発散することなく積を定義できる。当然、その中に「2」が含まれていれば間違いなく偶数である。

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全ての素数の積

333 ななしのよっしん
2022/05/28(土) 21:52:56 ID: YW1Ge3PfjI
背理法々色々理論があるのはわかるけど、結局素数の最小値の2を掛けるということは避けれない事実である以上、偶数にしか見えないんだけどな…
偶数って結局ここを言いたいと思うんだけど…
逆に2を掛けないっていう理論あるんだっけ?
334 ななしのよっしん
2022/05/28(土) 22:29:43 ID: JzG2a/y2jK
直感に反するような結論に気持ち悪さを感じるのは理解できるけど「全ての」みたいな概念を相手にした時には直感的な数の感覚は通用するとは限りませんよって話なので納得してもらうしかない
335 ななしのよっしん
2022/05/28(土) 22:34:22 ID: T9K0bfriSK
カードゲームので明らかに負ける試合を遅延行為の限りを尽くして効試合にするようなものかな
は意味のある行為にはあまり思えないが、本末転倒だろ
336 ななしのよっしん
2022/05/28(土) 22:39:05 ID: cuiRLfaSjO
数学においては限の探本末転倒でも何でもないが

勝敗を争うカードゲームとは分野が違うし的も違う
337 ななしのよっしん
2022/05/30(月) 03:31:01 ID: epMsFlbf90
そもそも限に素数を掛けたら自然数でなくなる(自然数という集合の外に出る)ので偶数奇数もないって話
338 ななしのよっしん
2022/07/10(日) 08:46:47 ID: YW1Ge3PfjI
すごく今更な亀レスだけど、背理法以前に限とか言ってしまったら、全てなんてそもそもおかしな話になるんだけどね。自然数々以前に。
だって、全ての素数の積の解が出た間、それまでの全ての素数の最終値から全ての素数の積の解までの範囲の新しい素数が生まれてしまうからね。
そうなると、まぁ確かに問題文がおかしいという結論には行くかな?
ただ、自然数じゃない々は偶数奇数に関係するんだっけ?
2で割りきれるか割りきれないかが偶数奇数の話じゃなかった?
別に自然数だろうが整数だろうがそこってブレないと思ってたんだけどもしかして限絡むとそこすら変わるの?
339 ななしのよっしん
2022/07/20(水) 13:07:33 ID: z9fXf8eMBO
>>338
まず「全ての素数の積」が自然数実数の位相の範囲では収束値が定義出来ないんよ
(そもそも実数上の偶奇は勝手に定義していいのかって話もあるけど)
なので存在がはっきりしてない物の偶奇なんて判別できるわけがない
340 ななしのよっしん
2022/09/05(月) 05:07:26 ID: NnoRBTN5H/
カードゲームの話が上で出てたからカードゲームみたいなもので例えると
Aさんデッキジョーカーが入ってる
・Bさんのデッキジョーカーが入ってない
AさんとBさんのデッキ枚数は同じ
・1枚ずつカードを引いて先にジョーカーを引いた方が勝ち

Aさんは絶対勝ちますか?って問いは直感的にはYesになる

けどこれはあくまでデッキの枚数が有限のときにしか成り立たない
問題文の「すべての素数の積」ってのは限枚のデッキでもいつかは引き終わるみたいなことを言ってるんだけど、限枚あるのに引き終わるってのはおかしいよねってことだ
341 ななしのよっしん
2022/09/05(月) 05:11:38 ID: NnoRBTN5H/
この言い方だとAさんデッキが全部ジョーカーとかあるからデッキの中のジョーカーは1枚だけってことで
342 ななしのよっしん
2022/09/05(月) 12:34:39 ID: L4CHlrKjb+
2で割り切れるか?という問は素因数分解が一意であることに依存するので素因数分解の一意性がい系では意味な問になる
自然数無限大からなり掛け算を持つ系では無限大のせいでそもそも割り算(素因数分解)を導入することができないので2で割り切れる無限大は存在しないということになる
偶奇性自体は二元モノイドへの単射で代用できるので理やり偶限奇限を考える(無限大を2種類に分けて偶奇性の演算を挿入する)ことはできると思う
でもあんまり意味はないだろうなあ