全ての素数の積単語

スベテノソスウノセキ
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全ての素数の積とは、数学の問題である。

概要

議論の発端は魔法使いと黒猫のウィズというコロプラ提供するクイズゲームのとある問題。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

公式の回答としては「偶数」であった。しかし、数学的には正しくないと反論する者が現れた。に2と4で意見が割れたが、その他の回答が正しいというもあらわれた。それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

1.奇数

・ 2×3×5×7×11×…
=(2-1)×3×5×7×11×…  ←奇数
  +(3-1)×5×7×11×…  ←偶数
    +(5-1)×7×11×…  ←偶数
     +…+…
奇数+偶数偶数+…なので奇数

2.偶数

・始めに2が掛けられており、偶数にいかなる自然数を掛けても偶数。だから全ての素数の積も当然偶数
・n番までの素数の積は偶数でありn+1番素数を掛けると偶数になる。数学的帰納法から偶数
・全ての素数の積自体は無限大に発散するが上記の理由から偶数の性質が失われることはい。定数には収束しないが少なくとも偶数である。
無限大に発散することと無限大の偶奇は関係。2×と変形できるので偶数。あるいは準解析でそのような数を「偶数」と定義すればよい。

3.どちらの場合もある

・全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=(奇数)=(偶数)となる。式変して好きな方を選べばよい。
・同様の式変形を偶数の項に繰り返し適用することで任意の回数だけ奇数の項を作ることができる。

4.どちらでもない

無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には関係。
定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対外。
・全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数集合には含まれない。
ζ関数に解析接続すると4π2になるので偶数でも奇数でもない。

5.解答不能

・問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
・全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。


いずれも一見するともな解答である。あるいは詭弁と感じるが何がマズいのか直感だけでは説明できない。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいはなぜ正しいと言えるのか、摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

議論について

多くの人は一分かるわけないと感じ、その後2が掛けられているから偶数だと気付き、でもよく考えたら発散するのでひょっとしたら定義できないのでは?と発想する。しかし、厳密さを追いめていくと数論は論のこと、最低限でも解析学の知識は要される。さらに進もうとするとζ関数やら準解析やらよくわからないものにすぐにぶち当たってしまいめんどくさくなる脱落してしまう。筆者はそうであった。

限や極限に関しては特に繊細な議論が必要である。用は正しく使われているのか誤用なのか、正しい論理展開なのか詭弁なのか、視点を変えたら正しいという事を見落としていないか、などはすぐにはわからないことが多い。設問の性質からも、各分野の知識を持ち合わせていないとの内容を理解することさえ難しいが、分かっている人には難しく考える必要はない、簡単すぎて敢えて反論するまでもない、と感じてしまうという問題もある。

ちなみにこれはパラドックスではないので解答は一つに絞られる。このようなものを疑似パラドックスという。解説は論拠の正確さで説得が変わるので、どういう立場・視点であるか、つまり「この分野ならOOだ」という解説になっているか、ということを意識的に明示するよう心掛け、なるべく丁寧で明快な議論をしていく必要がある。

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全ての素数の積

24 ななしのよっしん
2020/11/21(土) 14:59:34 ID: zMKTT/V+/u
全ての素数の積」がそもそも自然数じゃないんだから、偶数でも奇数でもないんじゃないの?
25 ななしのよっしん
2020/12/05(土) 02:12:22 ID: /SJ0Unjum4
途中で2が含まれてるならどんな素数をかけても偶数ではあるけど
肝心の素数限にあるから「全部かける」自体がどうやっても了できず
計算結果も出せない辺りが一番のネックな気がする
26 ななしのよっしん
2020/12/06(日) 14:51:01 ID: 52DuObrK1P
素数をどんどん大きくしていくと、
そのうち無限大に到達すると勘違いするからおかしなことになる。
いくら数を大きくしても有限の壁えられないし、
そもそも無限大は数じゃない。
27 ななしのよっしん
2020/12/07(月) 03:37:08 ID: ODz0Ck2kzt
1の議論については(3-1)×5×7×11×…を偶数としているところが循環論法...というか既に2×3×5×7×11×…が偶数なこと認めてるのと同じだから明らかに間違いじゃね
だから偶数奇数かの2択にしておけばここまで論争起きなかったよな
28 ななしのよっしん
2020/12/13(日) 20:22:50 ID: L4CHlrKjb+
2×3×5×7×11×…を偶数と仮定すると式変形で2×3×5×7×11×…が奇数であるという結論を導けるってことはつまり前提が間違っていたってこと
背理法から全ての素数の積偶数ではないということになる
奇数としても同じで結局偶数でも奇数でも矛盾するから偶数でも奇数でもないとせざるを得ない
この推論を途中だけ紹介しているのが1番ということ

経緯としては偶数という公式の答えに対して偶数でも奇数でもないが出てきたんだから二択にしても論争は起きたと思う
29 ななしのよっしん
2021/01/06(水) 15:09:35 ID: CHl8AC6sr0
偶数だろワロスwと思っていた時期がにもありました
30 ななしのよっしん
2021/02/14(日) 04:30:36 ID: DwRqhkWoU2
1 奇数の式変形で思ったこと

2,3,5,7,9の5つで1890
2-1,3,5,7,9
3-1,5,7,9
5-1,7,9
7-1,9
9
最後の9を足さないと数値がずれるので「最後に来る」のは奇数と仮定する
奇数が2つの和になるから値は偶数(ただし発散するので計算中は奇数のまま無限大へ行く)

だから素直に偶数でいい、のでは?
31 ななしのよっしん
2021/02/14(日) 04:43:20 ID: DwRqhkWoU2
>>30書いてから>>5見たけど

(2-1)の項が他全項の和と同値だって言ってるんだな
同値2つの和は2nになるので結局偶数だと
32 ななしのよっしん
2021/03/01(月) 23:37:41 ID: L4CHlrKjb+
9は11の間違いかな
最後に来るのは最大の奇素数ということになるけどそんなものは存在しないので「「最後に来る」のは奇数」という仮定は誤り
33 ななしのよっしん
2021/03/05(金) 19:45:41 ID: 1Z6mDhwNdW
採用する数学ジャンルによって回答が変わるということは分かった

「ただし、素数は有限であるものとする」とか「ただし、限は素数に含まないものとする」と書いてあったら偶数になるのかな?