ニコニコ大百科

>>329
すみません。私もあなたの質問が分からなくなりました。
私の矛盾点を別な表現で説明しなおしてもらえますか？

>>331
矛盾点を突いているのではなく、そちらの説明が分からないと言っている

かけ算というのは要するに足し算の積み重ねだろう
だから>>307の(5)(6)の距離を1つずつ数える事はしないで速度×時間で計算するというのは
距離を1つずつ数えられないから別のもので数えるという趣旨だと受け取った

しかし、時間は数えられないので速度×時間で超えましたという>>328は何を言っているのかわからない
俺の受け取り方が間違っていたと考えざるを得ないので>>307につき別の説明を求める

>>325
>>無限級数の足し算を実際に行って最後まで終らせることは理論の中でも現実世界でもできません。
>この指摘をした時点でゼノンの方法にt=1が存在しないことが分かります。

どうも、自分自身で少し混乱してきました。
もう一度「パラドックス無いよ派」として、パラドックスが無いことを次のように主張します。

■パラドックスなど無いという説明

(1)アキレスが亀の位置に行き、その次の亀の位置に行く、という考え方は「無限級数の足し算」と同じことです。
(2)論理の世界でも、現実の世界でも、無限級数の足し算を実際に1つ1つ行えば終りは来ません。
(3)しかしアキレスが速度ｘ時間で移動すれば(2)で終わりが来ないことは問題になりません。
(4)その時「パラドックスあるよ派」の私は「でもアキレスが亀の位置に来たとき、亀はその先にいますよね？ループは実在しますよね？」と主張しました。
(5)しかしその指摘は誤りです。なぜならアキレスがループで移動していたと主張するのであれば、それは「分割に限界は無い」という大前提と矛盾した主張になるからです。質問そのものが矛盾なのです。
(6)アキレスは時間×時間で移動します。その結果が「無限級数で表現できる」にすぎません。アキレスは無限級数の足し算で前進したわけではありません。

これでどうでしょうか？

割と重要なところで誤解があるのでそこだけ訂正しておきます。
>>307
>(5)
>移動とは無限小を無限回合計することではありません。
>だいたいそれでは[大前提]と矛盾します。
>無限に分割可能なのですからそもそも最小単位が存在してはいけません。
無限小を無限回合計しても移動することは理論上可能です。
それと、無限小は最小単位と一致しません。全く別物です。

>>332
>かけ算というのは要するに足し算の積み重ねだろう

はい。掛け算は足し算の積み重ねです。
なるほど、指摘の意味がわかりました。

説明を変えます。

私はアキレスが「速度x時間」で表現される距離を、最小単位の足し算ではなく"滑らかに"移動したと主張します。

>>334
>無限小は最小単位と一致しません。全く別物です。

足し算の最後があるとすれば、それ以上の分割ができないということを意味します。

それは「無限分割可能な世界」という前提と矛盾します。

無限分割可能な世界では、分割に終わりがあってはいけません。

少し変えました。

■パラドックスなど無いという説明

(1)アキレスが亀の位置に行き、その次の亀の位置に行く、という考え方は「無限級数の足し算」と同じことです。
(2)論理の世界でも、現実の世界でも、無限級数の足し算を実際に1つ1つ行えば終りは来ません。
(3)しかしアキレスが点から点への移動をしたのでなければ(2)で終わりが来ないことは問題になりません。
(4)その時「パラドックスあるよ派」の私は「でもアキレスが亀の位置に来たとき、亀はその先にいますよね？ループは実在しますよね？」と主張しました。
(5)しかしその指摘は誤りです。なぜならアキレスがループで移動していたと主張するのであれば、現実にアキレスが亀に追い付いたことが「分割に限界は無い」という大前提と矛盾した主張になるからです。分割に最後があってはいけません。
(6)アキレスは速度×時間で表現される距離を「滑らか」に移動しただけです。その結果が「無限級数で表現できる」にすぎません。アキレスは無限級数の足し算で前進したわけではありません。

>>335
距離には最小単位が存在しないというのは議論の前提だよな
距離の単位で表現しようが速度×時間で表現しようがそれは変わらないはず

また、アキレスが移動する距離の上に無限に点をとる事が出来るのも表現に関わらず同じだよな
それを滑らかに移動するというのはどういう事だ？
速度×時間に表現を変える事で何が変わるんだ？

Q.アキレスが亀のいた位置に到着するたびに数字をカウントしたとしたら、到着した時にいったい幾つをカウントしていたのですか？

A.アキレスは亀がいた点を一つ一つ順番にたどって前進しているわけでありません。そもそもそれでは最初の位置から1つ隣の点を定義できないので全く移動できません。アキレスは境目無く滑らかに移動しているだけです。

Q.そんなことを言ったって、実際に中間点ごとにカウントを行うことはできるはずだ！だから最後の数字があるはずだ！

A.最後の数字があるはずだと主張するのは「分割が無限に可能な世界」という前提と矛盾しています。矛盾した質問に合理的な答えなどあるはずがありません。

>>338
無限分割可能な世界の移動では、移動に最小単位も境目もない、という主張が全てです。
そして移動した結果の距離が無限級数の足し算で表現できるというだけです。

>>340
距離に最小単位はないとしても境目を作る事は出来るよな？
要するに点を取るという事なんだが

アキレスがカメのいた地点まで走るという事は作った点（境目）まで走るという事だろう？
そしてそれは無限に行えると

>>341
>距離に最小単位はないとしても境目を作る事は出来るよな？
>要するに点を取るという事なんだが

そのとおりです。無限に境目を作れます。

>アキレスがカメのいた地点まで走るという事は作った点（境目）まで走るという事だろう？そしてそれは無限に行えると

>>342つづき

>アキレスがカメのいた地点まで走るという事は作った点（境目）まで走るという事だろう？そしてそれは無限に行えると

いいえ。ここが違います。
滑らかに移動した経路の中に無限の点を見出すことができるというだけです。

点を1つ1つたどって距離にしているわけではありません。

>>343
それってアキレスは目をつぶって走っているという主張に属するのかな？

>>344
いいえ違います。

無限級数の足し算の結果が抜いた距離なのではなく
抜いた距離を無限級数として表現できるという違いです

無限級数を合計しないと距離にならないという誤解が
パラドックスの原因です

無限級数を合計しなくても、滑らかに移動すればよいだけです。

>>345
いやさ、滑らかに移動してもまたどのように移動しても
アキレスがカメのいた地点についたときカメは少し前にいるよな？

滑らかに移動するというのはカメのいた地点で立ち止まらない（境目を認めない）という主張でアキレスは目をつぶって走ればいいという主張と同じじゃないのか？
違うとすれば何が違うんだ？

>>346
>カメは少し前にいるよな？

「亀が少し先にいる」ということはつまり「分割に限界があった」ことを意味します。

それは「分割には限界がない」という前提と矛盾した指摘です。

前提と矛盾する指摘に合理的な答えがあるはずがありません。

>>347
「亀が少し先にいる」ということはつまり「分割に限界があった」ことを意味します。
その理屈はわからないのでもう少し詳しく頼む

普通は分割に限界があるならどこかでアキレスはカメに追いつく、となるはずなんだが
1ターンにカメが1マス進む間にアキレスは2マス進む場合、とかさ

時間が瞬間から成ると仮定すると、点を移動するたびに時間が経過するわけだから、アキレスは無限の時間が必要なことになるな。

>>348
ちょっと修正します。

無限級数の足し算を実際に始めたら終りにはたどり着けません。分割に終りは無いからです。

その一方で「亀は前にいますよね？」と指摘するのは

「無限級数の足し算の結果、アキレスが亀を抜いたはずだ。しかし最後の数字はなんだというのだ？」

と指摘しているのと同じです。

しかし、最後の数字が何かを聞く事自体が「分割には限界がない」という前提と矛盾しています。

>>348
>普通は分割に限界があるならどこかでアキレスはカメに追いつく、となるはずなんだが

分割に限界はありません。アキレスは"滑らか"に移動しているだけです。
アキレスは無限級数の足し算の結果として移動したわけではありません。

もし無限級数の足し算の最後の数を質問したなら
それは時空を無限に分割できるという前提と矛盾しています。

無限に分割可能な世界に最後の数などありはしません。
前提と矛盾した質問に答えがあるはずないのです。

そしてアキレスが移動した距離には、その距離を無限級数の合計として表現するのに
必要な全ての点を見出すことができます。それだけの話です。

これアキレスが亀に追い付いた後を無視してるのか？
亀に追い付く前の話しかしてないならそりゃ追いつけんわ

>>350
＞その一方で「亀は前にいますよね？」と指摘するのは
「無限級数の足し算の結果、アキレスが亀を抜いたはずだ。しかし最後の数字はなんだというのだ？」
と指摘しているのと同じです。

カメが前にいる、という指摘が足し算の結果アキレスがカメを抜いたはずだ、という指摘と「同じ」だというのが分からない
カメが前にいるという事はアキレスはまだ足し算の道半ばでカメを抜いていないという事を意味するはず
二つの指摘は何がどう同じになるんだ？

カメが前にいるという指摘は最後の数字を聞いたのではなく中間点（正確には抜く直前の点）を無限にとれる事を意味すると思うが

>>345
誤解の原因が見えたな
>無限級数を合計しないと距離にならない
その通り。無限級数を合計することで距離は測れますが、それが距離を測る唯一の方法ではありません。

また、ゼノンの方法では「追いついた瞬間」を記述することができず、
それでもその方法で「亀に追いつく現実」を説明しようとすると
「時間または距離の最小単位」が必要となってしまいます。

ゆえにゼノンの方法は間違っているので、パラドックスは存在しない。これが結論です。
(論理的には、ゼノンの方法は自己矛盾がないので間違っているとは言えず、
亀に追いつく時間を表現できないことから『不備がある』という表現になりますが)

>>353
在るはずの答えが存在しなければ、それはパラドックスだといえます。

逆に無いはずの答えが在れば、それもパラドックスだといえます。

しかし、無いはずの答えが無いのは、まったくパラドックスではありません。

アキレスが亀の位置にたどり着いたということは無いはずの答えが在ったということを意味しません。
もし「在った」と主張するならば、まずはその答えを示して下さい。

論理的にも、現実の世界でも「この数字が無限級数の足し算の最後の数だ」と言えるものはありません。
無いものが無いのは矛盾になっていません。

そしてアキレスが移動した距離は無限級数の足し算として表現することが可能です。

それだけの話です。

>>354
結局自分で矛盾の存在を騒ぎ立てて、自分で解決してしまいました。自作自演でしたね。

>>355
それは私の質問に答えていないと思う
同じだという主張に対して何がどう同じなのかと聞いたのだからここがこう同じなのだと答えてほしい
ないはずの答えがあるとかないとかの話はそれとどう繋がるのか分からない

答えのあるなしを考えるためには問いを考える必要があるが
アキレスがカメの位置にたどりついた、というのは問いではないだろう
それでないはずの答えがあった（事を意味しない）と言われても何を言いたいのか分からない

>>356
つまりあなたは

「無いはずの答えが、あるはずなのに、無いのは矛盾している！」

と主張しているのですか？

そうであれば、それは支離滅裂です。

>>349
時間が一瞬の無限個による集合であったとしても
私たちが知覚できる時間には変わらないから
何ら不都合があるとは思えないのだが……

>>352
本人はそのつもりは無かったんだろうけれど、数学的に解釈するとそうなる

>>355
疑って自分なりに考えてみるのは大事だから、悪い事では無い

パラドックスが無いことを別な表現にしてみましょう。

(1)アキレスと亀の話は、アキレスが亀に追いつくまでの距離をゼノンが無限に二分割して表現したものだ。
(2)ゼノンは無限に二分割して表現したのだから、当然その分割に終りはない。無限である。
(3)ゼノンが無限に二分割したのに、その分割に終わりが無いのはおかしい！という主張は支離滅裂である。

>>358
皆さんがつきあってくれたおかげでスッキリできました。感謝します。

>>357
私は、質問に答えてほしいと言っている
質問に答えず同じ主張を繰り返すなら議論は前に進まない