アキレスと亀単語

アキレストカメ
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議論の誘導 1. の意味に関する議論ゼノンのパラドックスの記事でお願いいたします。
掲示板に書き込まれる方は、末尾の注意事項もご一読ください。
(このお知らせ表示は当掲示板レスが>>493まで伸びた時に訂されました)

アキレスと亀とは、

  1. ゼノンのパラドックスのひとつである。「時間と間の実在性」を否定するために提唱された。
  2. アキレスに追いつけない」という詭弁である。現代では1. の文脈から離れ、この意味で流通することが多い。
  3. 北野武監督映画タイトルである。を追いかける画とその妻の話らしい。

本記事では2.について説明する。1. については扱わないのでゼノンのパラドックス参照のこと。

概要

アキレスと亀とは、「アキレスがどんなに速く走ったとしても、前を行くに追いつくことはできない」という命題及びその解説である。パラドックス世界でおそらく最も有名な話の1つ。

俊足に定評のあるギリシャ神話英雄アキレスが、のろまなを追いかける事になった。

さて、アキレスに追いつくためにはまずアキレスの出発点まで到達しなければならないのだが、アキレスの出発点に着いた時にははもっと先の地点にいる。そしてアキレスがそののいた地点に到達した時には、はまた先に進んでさらに先の地点にいる。(以下、無限ループ

従ってアキレスはどれだけ速く走ってもには永久に追いつけないし、はどれだけ遅くても休まずに進み続ける事で永久に追いつかれない。

このパラドックスを提唱したゼノンは、「時間と間の実在性」を肯定する一に対し、その一をつきつめるとこのアキレスと亀を肯定せざるを得なくなるので、「時間と間の実在性」を肯定する一は誤りであると否定したかったのだが、その点についてはこの記事では扱わないのでゼノンのパラドックスを参照のこと。大事なことなので二回言いました。

このパラドックスゼノン自身やゼノンのパラドックスを差し置いて有名になった背景には、「時間と間の実在性」に関心がない一般人に対しても一納得しかけてしまうような説得があり、さらに少し考えればその(非哲学的な)理由を説明したり理解したすることが容易であるということがある。

従って、一般人向けの文章において、ゼノンのパラドックスから切り離されてアキレスと亀の話だけが取り上げられた時には、ゼノンりたかった哲学上の議論ではなく、人間思い込みなどを諭す(さとす)ための題材として用いられている場合が多い。

現実にあるわけがないとわかっていても、その理由を言葉で明できないという方もいると思うので、一応、上記論理の(非哲学的な観点からの)誤りについての解説の一例を後述しておくのでタネがわからない人はジャンプして頂きたい。

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解説

注意 この項は、ネタバレ成分を多く含んでいます。
ここから下は自己責任で突っ走ってください。

説明1

アキレスよりも速い速度で走っているのは明であるため、砕いて要約するなら、アキレスにいつまで経っても追いつけないように見えるが、これは追いつく少し前 →ほんの少しだけ前 →ごくごくわずか前…(以下、無限ループ)に追いつけないという話を示しているに過ぎない。時間で現すなら、に追いつく1前 →0.1前 →0.01前 →0.0001前…を繰り返していけば、追いつくまでの時間差が0に到達しない以上アキレスに追いつけない。ように見える。

説明2

横軸:t(時間)、縦軸:x(距離)、:アキレス:
アキレス詭弁は図の線の議論をしてるだけに過ぎない。

説明3

アキレス速度を2、速度を1、アキレスと亀の最初の距離を1とすると、

の移動距離(説明2のグラフでいうと線の縦成分)は
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + ...
となり、一般項1/2^nの極限(n→)は0、総和1-1/2^nの極限は1に収束する。
つまり、nが無限大の時に図の交点に至ることになる。
ここでnは概要にあるアキレスのやりとりの回数を表す。
しかし、例えばそのやりとりを1億回繰り返したとしても、両者の間にはなお1/2^100000000の距離があり、交わることは決してない。
線だけで考えれば、無限大という机上の空論を持ち出さない限り両者が交わることはない。
しかし実際には交点(t,x)=(1,2)は存在する。

これを考えるにはx軸(距離)だけでなくt軸(時間)も考える必要がある。
概要に「アキレス永久を追いつくことができない」とあるが、この『永久』がくせ者。
線の横成分の総和の極限は、
lim (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = 1
であるが、これもn=無限大の場合であり、実際に1をえることはない。
1億回も概要のやりとりが続けば永久の時が流れたような錯覚を覚えるが、1-1/2^100000000しか経っていないのである。
実際は時間は2,3,4...と続いていくものであるのに、t<1と限定し、しかもそれを「永遠」という言葉でカモフラージュしている。

これが「アキレスと亀」の詭弁の正体です。

説明4?

速度を1とし、時刻tにおけるアキレス速度を 1 + e-t (eはネイピア数)とし、t = 0におけるアキレスと亀の距離を1とすると、時刻tにおけるアキレスと亀の距離は、

1 + ∫0t (1 - (1 + e-t))dt = 1 + [ e-t ]0t = 1 + e-t - 1 = e-t > 0

1 < 1 + e-t なのでアキレスより速く走ってはいるが、いつまで経ってもに追いつけない。

あれ?

説明5

が1の距離を進む間に、アキレスはxの距離を進み、アキレスに対して1の距離を先行しているとする。ただし、x > 1とする。

アキレスが1進んでがいた位置についたとき、はそこから1/xだけ進んでいる。

アキレスが1/x進んで先ほどがいた位置についたとき、はそこから1/x^2だけ進んでいる。

アキレスが1/x^2進んで先ほどがいた位置についたとき、はそこから1/x^3だけ進んでいる。

...

以下無限ループとなるので、アキレス永久に追いつくことができない。

ニコニコ大百科読者の方々は賢明なのですでにお気づきのことと思うが、アキレスはx/(x-1)だけ進んだ時点でに追いつくことができる。ではどこが間違っているのだろうか?

アキレスのいた場所に到達するという動作自体は限回行われており、その時常にアキレスより前にいる。しかしそれらの時刻はすべて、実はある時刻よ りも前になっている。そのため、その「ある時刻」より後に何が起こるかはこの論法だけではわからないため、「永久に」追いつけないと断定することはできな いのである。この論法には、「限の時刻において成り立つことは、全ての時刻において成り立つ。」という誤った前提が隠されていたのである。

ちなみにその「ある時刻」こそが、アキレスに追いつく時刻である。つまりこれアキレスに追いつく前の出来事なのである。

当記事掲示板ご利用上の注意

  1. ギリシャ哲学の観点からのご意見はゼノンのパラドックスの記事の掲示板でお願いいたします。
  2. 493番以前にあった議論には関わらないことをお勧めします。

ギリシャ哲学の観点について

当記事掲示板レス400番あたりまでは、上述のような数学的観点から「アキレスと亀」を詭弁と扱う側と、それをギリシャ哲学の観点から誤りであるという側で意見のすれ違いがありました。

この項の記述者は後者の側ではないため、正確性に保はありませんが、後者を要約すると「ゼノンのパラドックス(アキレスと亀はゼノンのパラドックスの一部)は世界実在性の議論であり、そのことを織り込まずに詭弁として処理することは誤りである」ということのようでした。

ゼノンのパラドックスの記事の掲示板でも似たような議論があったため、当記事では「アキレスと亀」として現代に流通している内容に限定して、ギリシャ哲学の観点からの意見は「ゼノンのパラドックス」の記事に住み分けするように誘導するようにしてからは、その点に関する対立は解消されているように思えます。前提の違いによる行線の議論を避けるためにも住み分けにご協をお願い申し上げます。

前提が明らでない議論の終了について

上記以降も、上述の前者と、後者のうち自らのゼノンの思想とは関係に成立するとする者との間では意見の対立が続きました。

やはり正確性を保しませんが、そのを要約すると、「アキレスのいた位置に進んだらはわずかに前にいる。しかし現実にはアキレスに追いついている。これではアキレスに追いつく間に起きていることが説明できないのでパラドックスである。」ということのようです。

>>474摘にあるように、現実に起きていることを説明できていない以上、後者の前提について現実と一致しない点が「存在すること」は、「どこが現実と一致しないのかを摘しなくても」論理学的に保されているわけですが、後者の前提について究明が進まないまま堂々巡りの議論が続きました。

最終的に、後者は回答する保をしないことを宣言し、前者側は後者を対話不可能な相手であると判断したため、議論としては事実上終了しています。

一見まともなやりとりに見えても、前提が明らかにできる保がない以上、対話の論理性を担保できないため、>>493以前に行われていた議論には関わらないことを、前者側の立場からお勧めいたします。

参考レス番号として、>>452>>490-493を挙げておきます。

それでも上記議論に参加されるというのはもちろん個人の自由ではありますが、その際でも、お手数ですが>>1から順に議論内容を吟味し、対話可な相手かどうか今一度ご検討した上で、自己責任でお願いいたします。

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スマホ版URL:
https://dic.nicovideo.jp/t/a/%E3%82%A2%E3%82%AD%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%81%A8%E4%BA%80
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アキレスと亀

518 ななしのよっしん
2022/02/17(木) 19:34:52 ID: wlXrHzdvIu
>>517
関係ないのはおかしい
現実世界に関する話をしているのだから現実物理等を研究する科学とは関係がある
関係ないと思っている時点で本質をわかっていない
量子力学とか出した分野はもしかしたら違ったかもしれないけど数字的にではなく科学的に議論すべき

519 ななしのよっしん
2022/02/18(金) 02:54:59 ID: 5vyCQjZwiQ
>現実世界に関する話をしている
現実世界ではアキレスに追いつけないなんて事は起きないので現実世界の話ではない
これが自然科学ならモデルが間違ってますと一蹴されるだけ

>量子力学とか出した分野はもしかしたら違ったかもしれないけど
では正しい分野を出してください
520 ななしのよっしん
2022/03/08(火) 00:48:46 ID: jxckY8beM8
恐らく wlXrHzdvIu はこのページでも見たのではないだろうか
http://www.math.keio.ac.jp/~ishikawa/QLEJ/indexj103.htmlexit

521 ななしのよっしん
2022/04/08(金) 22:20:00 ID: 3K01cgYr04
限個のステップに切り分ける作業→有限時間で終了しない
有限個のステップに切り分ける作業→有限時間で終了する

この前提を踏まえた上でアキレスに追いつけるか否かを調べる方法を作成する。

アキレスに追いつく過程を限個のステップに切り分ける作業を含む調べ方を作成しても、その調べ方では調が有限時間で終了しないのでいつまで経ってもyesかnoかさえ答えは出ない。

アキレスに追いつく過程を限個のステップに切り分ける作業を含まない、有限個のステップに切り分ける作業で構成された調べ方を作成し調を行った場合、その調は有限時間で終了するので、yesかnoかはたまたどちらでもないか、答えが一体どうなるのかはわからないけれどひとまずやり遂げさえすれば答えは出る。
その答えが〇〇と矛盾してるだのいう議論は〇〇の統一的な定義ができない限り終結しない。数学の場合はそれがあるから定義した内容と答えが矛盾してるかしてないか議論することが可



522 ななしのよっしん
2022/04/08(金) 22:23:16 ID: 3K01cgYr04
そしてその議論は有限時間で終結する。
523 ななしのよっしん
2022/04/08(金) 23:19:20 ID: 3K01cgYr04
説明4はアキレス速さが徐々に小さくなっていることを付け加えた方がいい。もしくは説明2みたいにx-t図で描写してわかりやすくした方がいい。

上の説明も、最初の前提を正しいとみなさない人にとっては間違った説明になるるんだろうけど…。

今気づいたけど<<521の「その答えが〇〇と矛盾してるだのいう議論は〇〇の統一的な定義ができない限り終結しない」ってのと<<522の明してないです。間違ってる可性あるから注意されたし。
524 ななしのよっしん
2022/04/08(金) 23:26:14 ID: 3K01cgYr04
あと<<522の説明はあくまで有限時間で答えが出せるか出せないかについて答えたものなので、アキレスが追いつけるかどうかについて答えたものではないということに注意してくれ。
525 ななしのよっしん
2022/04/08(金) 23:27:33 ID: 3K01cgYr04
<<521だった。すまない。
526 ななしのよっしん
2022/04/08(金) 23:40:59 ID: 3K01cgYr04
思考と現実の区別をつけられない人にはパラドックスに見えるっていう、馬鹿と常人を区別する画期的な手法だと思いました。
527 ななしのよっしん
2022/04/14(木) 21:18:25 ID: t5YBMklPgi
極限というのは、限に小さいとされているが、実は、アキレスカメマクロ世界での限小です。これが、電子とか、原資とか素粒子レベルで小さくなると、そもそも、極限という考え方では説明がつかなくなる。量子ゼノン効果で調べれば、わかるが、数学の極限が、いかにスカスカな知識かわかる。