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1 山元
2010/09/01(水) 18:01:32 ID: ayjw8SRaB+
作ってみました。堅すぎる気がするので、誰かもう少し文章を分かりやすくやわらかくしてくれると助かります。
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2 ななしのよっしん
2010/09/02(木) 21:16:02 ID: 611hircYr8
>>ZFに対する選択公理、ZFC（ZF＋選択公理）に対する連続体仮説
どちらもZF, ZFCに対して独立なので例になってないですよ。
不完全性なので公理系と証明体系から作られる命題で否定も肯定もできない例でないといけないですが、そうした例は有名なものってあんまり無かったような（不完全性定理の証明で作られるような人為的なもの以外の命題はあるにはあるがどれもかなりマニアックだった記憶がある）。 -
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3 ななしのよっしん
2010/09/02(木) 21:23:07 ID: jEOd0DcN5U
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4 山元
2010/09/02(木) 22:56:57 ID: ayjw8SRaB+
>>2
選択公理も、連続体仮説もZFの言葉で書かれた命題であり
「公理系と証明体系から作られる命題で否定も肯定もできない例」
になっています。
この記事が充分ではないし、間違いはあるかもしれないけど、
その指摘は間違いです。
というか第一不完全性定理で述べられているような命題を独立命題と言い、体系内に独立命題が存在するのを主張するのが第一です。
関連商品の本を一冊読破することをお勧めします(ブルーバックス以外で、BBは初等的すぎるのと間違いだらけなので、勉強にはお勧めできません)。 -
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5 ななしのよっしん
2010/09/04(土) 18:02:32 ID: CkIt1hQKwH
読んでいて何かおかしいと思ったら不確定性原理の記事だと思って読んでいた
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6 ななしのよっしん
2011/08/01(月) 00:49:28 ID: jEOd0DcN5U
「ω矛盾かつ完全なロビンソン算術Qの再帰的拡大は存在しない」
いろんな表現があるんだな…分からんけど。 -
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7 山元
2011/08/07(日) 00:53:56 ID: ayjw8SRaB+
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8 ななしのよっしん
2011/09/26(月) 20:19:05 ID: jEOd0DcN5U
ごめんorz
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9 ななしのよっしん
2012/01/20(金) 19:37:23 ID: 9zV5isJXlX
第二不完全性定理を、ものの数分程度で第一不完全性定理から導かれて唖然とした経験があるのは俺だけじゃないはず。
第一のほうで出てくる「肯定も否定も示せない命題」と
「自分自身が無矛盾であるという命題」が同値であることが容易に示せるんだよね。
ところで
>一つ目は、どんな数学理論にも…
の部分がどうしても気になる。
無限集合に対する全称や存在を考えなくていい体系ならどんな命題でも、
全ての場合を確認することで正否が判定できるわけで…。
だが「○○であるどんな数学理論にも…」の○○に入る、わかり易い語句が思い付かない…。
というわけで、表記が厳密でないのを承知でこの表現になっているのなら別にいいのですが、
何かいい表現があれば修正お願いします。 -
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10 ななしのよっしん
2012/01/21(土) 00:18:50 ID: ayjw8SRaB+
>>9
数学理論は"再帰的で(ω)無矛盾な自然数論を充分に表現できる形式系"の言い換えで、
正確の言えば、論理に関数記号や公理などを付け加えたものは全部数学理論だろうけど、
通常の数学理論は大抵この条件を満たしてるからこう言い換えてもいいかなって考えた。
ゲーデルもこの条件は数学理論が数学理論であるための最低条件だ！
(不完全性定理が成り立つための充分条件でもあるが)
ってのりで書いてるだろうからいいかなと。
平易な言葉なら、"健全で強力な数学理論"とかいうことはできるだろうけど、
説明したようでしてない修飾つけて無駄に長くなるより関節な方がいい気がするんだよね。 -
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11 ななしのよっしん
2012/02/05(日) 16:22:18 ID: 7Q1f/sgBzf
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12 ななしのよっしん
2013/08/05(月) 12:01:04 ID: Y7ZyUUDOdv
かなりざっくり言っちゃうと、ゲーデルさんは「矛盾の無い法則の中では、証明も反証もできない事柄が生まれる」「矛盾の無い法則は、法則そのものが矛盾そのものでないということを証明できない」ってことを限定的に証明した人。（第一法則はω無矛盾性から無矛盾性に拡張されているので、概念理解的にややこしいω無矛盾は無視した）
ただし、「この不完全性定理への証明に、俺は嘘つきじゃないっていう内容スッカラカンな文を使ってるから、こんなん認められんわー」って言ってる人もいる。ゲーデル文自体に数学的意味は無いから、この定理自体無効だろっていう意見ね。
逆に、実際にゲーデル文が存在する以上、それについて考えるのは意味があるだろうという意見もある。 -
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13 ななしのよっしん
2013/08/05(月) 12:10:13 ID: Y7ZyUUDOdv
>>12の後半をもっとわかりやすくいうと、
「証明も反証もできる事柄の存在を認めたら、そりゃあ、証明も反証もできない事柄ができるのは当たり前でしょう？だから、こんなの無効だって」
「いや、実際に証明も反証もできる事柄があるじゃん。それ認めないと話が進まないでしょう」 -
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14 ななしのよっしん
2013/11/13(水) 10:16:50 ID: NXSwwZxwo6
林晋先生の解説はマジで素晴らしいわ
これが文庫で読めるってんだからいい時代になったもんだ -
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15 ななしのよっしん
2014/07/06(日) 23:20:23 ID: yx0hA3vCyF
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16 ななしのよっしん
2015/03/11(水) 01:27:14 ID: Q4cTvtk7WP
よく分からないけど宇宙の外側？を観測できないってのはこれの一例と同型のものだと解釈してるわ
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17 ななしのよっしん
2015/03/23(月) 19:20:57 ID: x6nNwb2L1S
トンデモな話題に何かと事欠かない定理だよね
中身より言葉だけが独り歩きしてる場合が多々 -
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18 ななしのよっしん
2015/08/11(火) 22:29:22 ID: bqN3Dd63/R
第一定理をもっとアバウトな表現にして
どんな理屈にも理屈通りにいかない何かがある
・・・あれ？当たり前じゃね？ -
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19 ななしのよっしん
2015/09/12(土) 20:43:45 ID: nb5WTuqWFV
よく理解されずに使われてる言葉
中途半端な理系がよく誤解してる -
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20 ななしのよっしん
2015/09/12(土) 20:52:42 ID: SDwl1z2nCo
>>16
「宇宙の外」に出たと確信or証明するためには
「宇宙の外」を知っていなければならない
ってことだ そうだろ な、そうだろ -
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21 ななしのよっしん
2015/10/03(土) 18:22:01 ID: yx0hA3vCyF
どっちかというと「矛盾」の故事が近い。
いかなる定理をも証明できる最強の矛と、全てを定理として守れる最強の盾を両立することはできない。 -
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22 ななしのよっしん
2015/12/09(水) 13:09:23 ID: x9RI+vf9uK
矛盾のない公理系が自身の無矛盾性を証明できないっていうのは
最強の盾と最強の矛の両方があるとしてもないとしても問題ない、
通常の盾と矛を考える限り、そもそも存在するかを証明できない
っていうのが近そう
時折出てくる「病的な」性質のものが不確定性原理にかかわっているかもしれない -
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23 ななしのよっしん
2017/03/27(月) 19:50:47 ID: CASt9yTajr
絶対に証明できない数学の定理など、幾らでも作り出せる。
命題：『この定理は証明できない』
・真である場合⇒この命題が述べている様に証明できない。
・偽である場合⇒この命題は証明できる事になる、しかしそれは命題の主張とは矛盾する。
ちなみに、確率論が好きな人ならご存じだろうけど、自分自身や自分が属する集団について言及するときに矛盾が起こり易い。
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24 ななしのよっしん
2017/03/31(金) 20:24:02 ID: yx0hA3vCyF
>>23
不完全性定理の主張の肝はそういう証明不能の命題一般の話ではなく、「ある程度実用的なルール下では形式的に解決できない命題が必ず入り込んでしまう」ってこと。
数理論理学の命題は形式的操作の対象でルールが全部決まってるから、このルールに沿わないものはそもそも命題といえないわけだ。
で「この定理は証明できない」の類いがおかしな結果になるのは誰でも分かるけど、そういう無理なものをそもそもルール違反で弾けるようにしとけば、その範囲内では問題起こす命題はなくなって白黒付けられるよ、というのがヒルベルトの目指したところだった。要はマトモなのだけ扱えるように法整備しようってことね。 -
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25 ななしのよっしん
2017/03/31(金) 20:25:26 ID: yx0hA3vCyF
続き
これに対するゲーデルの回答が「結局どんなルールを決めても「この定理は証明できない」という命題は合法的に書けてしまうのだ」というものだった。
もちろん記述力を弱めれば「この定理は証明できない」を書けなくすることはできるんだが、そうすると今度は記述力が低すぎてまともに命題を扱えない。「自然数論を含むなら〜」というのは誤解を恐れず言えば、十分な命題を記述できるだけの強力さが「肉がちゃんと切れる包丁なら人だって殺せる」式の諸刃の剣であることを示している。 -
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26 ななしのよっしん
2017/04/14(金) 02:13:51 ID: vf/kaP8COx
現状の記事でもいいんだけど、
ニコニコ大百科らしく、正確性を多少犠牲にしてでも、
数学にあまり親しんでいない人にも楽しんで読めるような、
噛み砕いた言葉を使った記事にしてくれる編集者を募集。
不完全性定理はそれができる題材だと思う。
ヒルベルトプログラムが何をめざしていたのか、それに対してゲーデルが与えた影響は何なのかというあたり。 -
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27 ななしのよっしん
2017/10/22(日) 13:29:33 ID: BTuDM6A7wv
それは難しいな…
最大の急所かつ難所は、「数学それ自体」と「数学の形式系」の違い。
この定理は「数学の形式系」についての定理であって、「数学それ自体」についての定理ではない。
（大体、数学それ自体についての数学的定理なんてものはあり得ない）
この区別を曖昧にすると、トンデモ解釈に引きずり込まれる事になる。
じゃあ形式系ってのは何なんだ？というと、これがまた説明しづらいんだよな… -
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28 ななしのよっしん
2018/02/03(土) 14:15:30 ID: FGWZJc9sMr
これなあ・・・名前だけ有名だけど、実際には門外漢に聞かせて面白がってもらえるような定理じゃないんだよ、全然
たまに愉快な拡大解釈してファンタジーな事書いてる一般向け解説書あるけど、本来ものすごーくテクニカルな話だから
とりあえず一般向けの本に「数学が不完全であることが示された」等と書いてあったら、それは間違い
これは>>27で言われてる通りで、実は数学ってのは世間一般に思われてるほど輪郭のハッキリしたものではない
ある意味では、数学が不完全であることなんか最初から分かりきっていた
また「人間とロボットの本質的な違いが明らかになった」と書いてあったら、それも間違い
この定理が言ってるのは要するに「これこれのルールでゲームを進めると、これこれのプレイは実行出来ないと判明しました」という、ただそれだけの話なの
採用されてるルールが問題なのであって、プレイヤーが人間かロボットかなんて関係ない
ルールを変更すれば、出来ることも出来ないことも変わる -
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29 ななしのよっしん
2018/02/20(火) 20:09:40 ID: yx0hA3vCyF
面白いのは定理自体じゃなくてそこに至る過程の方。
アリストテレス、ライプニッツ、フレーゲ、ラッセルときて論理主義が手に負えなくなり、ブラウワーみたいな過激派を出した後に、ヒルベルトが「数学的実在とか置いといてゲームにしちゃえばゲーム内の自己証明はできるやろ」と言い出す思想的な流れのオチを付けたのが不完全性定理だから、定理自体はわりとどうでもいいと思う。
ラッセルの1+1=2の証明とか、排中律絶対殺すマンとか、ヒルベルトのテーブル、椅子、コップの相互関係の話とか、面白い要素はたしかに転がっている。 -
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30 ななしのよっしん
2018/02/20(火) 22:02:55 ID: 0ydfkR3j9V
形式系の話をするときは「証明」という単語を「生成」に置き換えることをお勧めする
「証明不可能な定理がある」だと誤解の危険が生じるが
「生成不可能な記号配列がある」なら誰も誤解しない -
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