ニコニコ大百科

これはありがたい。編集乙

>>297
むしろ全ての素数の積を自然数と仮定したときに
全ての素数の積として定義したもの自体が、素数の性質(全ての素数の積+1したものも定義上は素数になることから)によって「全ての素数の積になっていない」と否定されるので
自然数であることも背理法で否定される

が、リーマンζ関数とか使うと特定の数が割り当てられて偶数になると思われ…

私はこの問題について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。

編集ありがたい
オレはこの版には納得しかない

編集おつ、でも奇数と偶数入れ替わってるからだれか修正お願い

どこかの誰かがどちらでもないって回答を記事にしたようだけど
それはつまり無限大云々の話は考慮しませんっていう立場でいいのかな

>>305
2→1の順で解説したほうが自然だと思って意図的に入れ替えたんだけど、わかりにくかったらごめんなさい

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>>207
亀レスだけど、∀ｎ∈ℕ、Ｐ＿ｎ∈ℕ⇒lim(n→∞)P_n∈ℕはそもそも偽。実例出せと言われても困るけど…
ℕをℚにしていいなら、ζ（２）とかを考えれば言えること。
有限回の操作で言えることを無限回の操作に直接適用しちゃダメ。

この記事の回答の証明は強力で簡明だの。
無限とかなんとか言ってごまかしが起きる余地を奪っておいてから、なおかつ自然数でない(≒偶数でない)ことを証明している。

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多数派というか2と4はどちらも問題文に定義を付け加えれば正解にはなるよ
まず「すべての素数の積」の定義が曖昧なので議論すらできないんよ本来なら

教育カリキュラムに即した数学の教材と見なせば、答えが変わる珍問ではある。
中学までの数学ならば2.偶数が正解となろう。すべての素数は自然数であり、自然数同士の積は自然数であり、素因数に2が含まれる。以上の事実より導かれる。数学的な観察力を養う問題にうってつけ。教えていない事実は用いないならば、これは正解。

高校になると、背理法を学ぶ。これにより例えば2の平方根が無理数であったり、素数が数限りなく存在することが証明できるようになるわけだが、ここまでくると中学までの回答では物足りず、この記事の回答が正解となり、答えが変わる。

「全ての素数の積」って言葉は別に曖昧でもなんでもないよ
ただ「たかだか」あたりが典型なんだけど数学用語として厳密に定義されてる内容が日常会話での言葉の意味合いと微妙に違うせいで日常感覚に引きずられて変な結論にたどりついちゃったりするというのは良く見る光景ではある

やっぱり理解できんので誰か教えて
Nを全ての自然数の積とすると、Nは任意の素数で割り切れる
だからN+1はどんな素数で割っても1余るってことよね？
でもじゃあ「自然数でない（＝偶数でない）数Nが2で割り切れる」とはどういうことと定めているのかが分からん
ある数が偶数であることと2で割り切れることが違うなら、そこの差をはっきりさせて欲しい

いやすべての自然数の積Ｎを自然数Ｎで割ることはできないよ

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>>317
理解できた、ありがとう
結局自分も背理法がよく分かってないだけの人間だった

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無限を扱うために公理体系作ったら致命的なバグを吐きかけるくらいだしね（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）

これって「全ての“素数をかけてできる数”〜」と解釈すれば奇数の合成数もあるし偶数の合成数もあるから3.どちらの場合もある　と言えなくもない(？)
まあその場合”素数同士を”と書くべきだから、普通に解釈すれば、「”
全ての素数”をかけてできる数〜」だろうけど

全ての素数の積が素朴に考えると(複素)数でないことの証明
↓
p_iをi番目の素数とする。n個までの素数の積の整数列a_n=Π p_i(iは1以上n以下の自然数を走る)を考える。任意の自然数Nに対し、n>Nならば|a_n|>Nなのでこの数列は発散する。
これは複素数の範囲で考えても同じで、さらに複素数列は発散と収束は同時に起こり得ないので、つまり、全ての素数の積はこの数列の収束極限の複素数としては定義出来ない。

そもそも整数(ℤ)においては素数は素イデアルを生成する元で、偶数というのは2の生成するイデアルの元だから、この全ての素数の積を∞として扱うなら、整数環ℤを部分環として持ち、さらに∞を元に持つ環を考えるべきだが、そのためには0・∞をうまく定義しないといけないがここが難しそう。

それは収束速度次第だからなぁ
超強い速度で発散する無限はあっても常時無限は存在しないから常時0と超強い無限はかけ合わせたら０、がwell-defined?

1以上の整数からなる半環に積の吸収元∞を加えたものは再び半環になる
∞は全てのイデアルに含まれるので偶数かつ全ての素数を約数にもつ
こう決めると∞は偶数といえるけど∞は吸収元なので作り方によらず同一の性質を持つ
従って2以外の全ての素数の積N/2も偶数かつ全ての素数の積Nと一致する
∞に発散するものは成り立ちに関係なく全て同じ性質をもつことになる

ちなみに半環はゼロ和自由だから回答1で示したような引き算を含む式変形は禁止されるので∞を式変形で奇数とすることはできない
さらに整数環においては0が積の吸収元であるので∞を無矛盾に追加することはできない、つまり自然数による半環でのみ成り立つ話ということ
初めの議論で∞を0に置き換えても成り立つことからも0と∞の両立はできないとわかる

と考えたけど数学的に合ってるかはわからん

>>323
>>324
整数環に∞を加えても環になると仮定する

0•∞=aと書くと
a=0•∞=(0+0)•∞=0•∞+0•∞=a+a=2aなので

①aが整数ならば
a=a+0=a+(a-a)=2a-a=a-a=0
よって0•∞=(1+(-1))•∞=1•∞+(-1)•∞=0より∞の加法の逆元-∞は存在してそれは(-1)•∞。
b≠0なる整数との乗法に関して∞が吸収的ならば2∞=∞なので
∞=(2+(-1))•∞=2•∞-∞=∞-∞=0

②a=∞ならば
∞=0•∞=(0+0)•∞=0•∞+0•∞=∞+∞=2•∞
∞に加法の逆元が存在するならば両辺に加えて0=∞となる

③a=-∞ならば
∞=(0+1)•∞=0•∞+1•∞=-∞+∞=0

以上から、整数環に∞を加えても環になると仮定すると、∞=0となってしまうので、0が偶数だから∞(全ての素数の積や全ての奇数の積)も偶数になる……

あるいは、
∞≠0
かつ
∞の加法の逆元が存在
かつ
∞に0でない整数をかけても∞のまま
という3つは同時に成り立たないので∞の加法の逆元の存在は妥協して残りの2つを満たすように考えたのが半環としての自然数というわけですね。そしてその場合2•∞=∞だから∞は2の生成するイデアルの元で偶数。つまり全ての素数の積も全ての奇数の積も偶数となる……

円周率は正の実数でしかも定数だから半径2√πの円と半径2πの円を考えることができるはず。

❶半径2 × (π)^(2^(-1))の円では
円周の長さは2 × 2 × (π)^(2^(-1)) × (π)^(+1) =｛(2)^2｝× (π)^(3/2)
面積は(π)^(+1) × 2 × (π)^(2^(-1)) × 2 × (π)^(2^(-1)) =｛(2)^2｝× (π)^(2)

❷半径2 × (π)^(+1)の円では
円周の長さは2 × 2 × (π)^(+1) × (π)^(+1) =｛(2)^2｝× (π)^(2)
面積は(π)^(+1) × 2 × (π)^(+1) × 2 × (π)^(+1) =｛(2)^2｝× (π)^(3)

❷の円は円周の長さが半径❶の円の面積と等しく、しかもその値が全ての素数の積を解析接続した値4π^2と一致する。

これって偶然か？

それに加えて出てくる数字が1/2だの-1/2だの3/2だの、素粒子のスピンでよく見る値になる。
試しに半径と面積が一致する円考えてみたらその半径の値は(π)^(-1)だった。
以下に示す。

半径(π)^(-1)の円について
円周の長さは2 × (π)^(-1) × (π)^(+1) = (π)^(+1) × (π)^(-1) × 2 = 1 × 2
順番が綺麗だしあえて入れ替えてる。

面積は(π)^(+1) × (π)^(-1) × (π)^(-1) =1 × (π)^(-1) = (π)^(-1)

こっから円周の長さが6、30、210、2310、つまり素数の積になるよう順番にかけてったら、円周の長さが全ての素数の積になった頃その半径は2πになってんじゃね。

順番にかけてくって書き方はおかしいな。そうなるよう半径を定めていくって言い方が正しい。

求めていく？の方が日本語として適切か？
すまね、あんま日本語得意じゃないもので。

順序よくまとめると

円の半径を1/πから2πまで伸ばしたとき
円周の長さは2から4π^2になる。

円の半径を1/πに3以上の素数をかけながら伸ばしていくと、全ての素数の積になった途端半径2πで周の長さが4π^2の円になるのではという推測。

意味不明だけど。