ニコニコ大百科

>>30書いてから>>5見たけど

(2-1)の項が他全項の和と同値だって言ってるんだな
同値2つの和は2nになるので結局偶数だと

9は11の間違いかな
最後に来るのは最大の奇素数ということになるけどそんなものは存在しないので「「最後に来る」のは奇数」という仮定は誤り

採用する数学のジャンルによって回答が変わるということは分かった

「ただし、素数は有限であるものとする」とか「ただし、無限は素数に含まないものとする」と書いてあったら偶数になるのかな？

>>32
11だな訂正に感謝
でも最終項ありきの変形だからそれが無いなら値の変わるそもそもの式変形自体が無効では？って事を言いたい
（まあその場合無限に発散して終わりだけれど）

だからとりあえず奇数ではない

無限大になりそう

解がない問いの偶奇を問う無意味さ
超準解析の出番か

書いてある説明だとこの説明が納得できるかな。

>「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
>・全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾。背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数の集合には含まれない。

素数は「１より大きい自然数」であり「すべての自然数は整数」なので、素数は「１より大きい整数」。また、2で割り切れる整数は偶数で、それ以外は奇数。整数以外に偶数や奇数は定義されない。
問題文が変われば別だが、全ての素数をかけた時にできる「数」って実態があるものとして問題文で言っちゃってるから、それは偶数でも奇数でもないね。

誰か無限大の不思議さを簡単に説明してほしい

逆に「答えを偶数」の問題にするなら、問題文どう書けばいいかな？

「ある素数までのすべての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

とか？

素数を小さいものから順に掛けていって作れる数は全て○○である
（以下選択肢）

>>38
個人的な意見だが
「無限」とは有限だと手の届かない概念を扱うときに出てくる必要悪的なものなので、そもそも有限とは感覚が違う妙なことを起こすのが避けようがない
我々の常識的な感覚が有限をベースにしているので、有限の数では成立しない議論が平気でポンポン出てくるから混乱するのは当然と言えば当然ではある
（例:数に1足したら絶対に増えるじゃんｗｗ
→無限の基数なら増えないぞ。でも無限の順序数なら増えるぞ。議論する対象次第だぞ。
→は？）


だめだ、固すぎてもいかんな、適度に砕くか
つまり、「我々の常識的な有限の感覚」で扱いきれない概念や議論をレスキューしてくれるスーパーマン的な存在だから、常識的じゃない不思議パワーを沢山持ってるのよ
「偶数の個数と奇数の個数どっちが多い？」って質問には常識的に考えると哲学沼にハマるが、困ったときのスーパーヒーローとして無限を呼べば「両方同じ加算無限ですよ」って手軽に解決してくれたりする
もちろんヒーロー一人だけだと色んな事件を解決できなかったりするので、状況に応じて色んな「無限さん」がいて、それぞれ性質も違ったりする（ややこしい！）

でもよく物語にある迫害されるヒーローみたいに「俺ら一般市民に理解できない奴がいる！意味わからない！怖い！」って避けられがちだったりする、そんな不憫な奴、それが無限です

いくら無限とは言っても偶数が掛かってる以上偶数って法則性からはずれたらそれはもう無限以前に数字じゃないだろ。
無限の定義を強く固辞し過ぎだ。

>>42
その通りだよ、そもそも我々が(極限で)安易に使っている無限大は「数」(特に自然数や実数)ではない
ついでに言うと超準解析の無限大はちゃんと「数」(超実数や超自然数)として定義されてるからこの二つは別物

1.奇数
は無限乗積を勝手に展開してもいいの？

>>39
回答を偶数にしたいだけなら、「現在見つかっている素数の積」とすればいい。
偶数×自然数の形は新しい素数が見つかっても保たれるんだから。

1からの自然数全ての積はもちろん無限だが、素数が無限に存在していることも証明されているから全ての素数の積もまた無限。感覚的には前者の方が大きく思えるが、無限は数ではないらしいからそもそも比較することが出来ない。無限が必要な理由は感覚的に分かるが、こんな不便な概念がどうして存在するのか分からない。

>>46
数学は、そういう一見奇妙なものを受け入れて発展してきたので
人間的な感覚からは離れたほうがいいかもしれない
数学的に正しければ論じることは自由なのです

ピタゴラスは無理数を発見した弟子を死刑にしたし、
オイラーは負の数を無限大より大きい数だと信じていた
(負数を意味のない数だと考える人さえいた)
という話もあったり...

全ての素数の積Pの偶奇を判定できないという状況は、∞をそのまま調べようとするから発生してしまう手法的な誤りにすぎない。
「自然数nに奇数をかけても割っても偶奇は変わらない」という性質を利用すればPの偶奇は容易に判定できる。
Pの素因数から、一つだけ残して奇数を取り除く。当然この操作においてPの偶奇は保存される。
仮に3を残すとすると、残った素因数は2, 3となる。
2×3は明らかに偶数なので、Pもまた偶数である。

この論法は「2に何かけても偶数だろ」といった投げやりな物ではない。

仮に答えがあったとして解を暗記してない人が5秒でたどり着けるのだろうか
20秒でも無理

そして誰かはこう言うだろう。「素数が無限にあるのが悪い」

数学は宇宙だからね
人間や機械が認知できない所まで分かっちゃう、そこに痺れる憧れるゥ！

素数(自身以外の約数を持たない自然数)は素数だと分かる時点で∞じゃないし
人が可視化して追えないだけで「n→∞にしたら素数の積が∞になる」って論理展開が誤謬では？

どんな数字も偶数を掛ければ偶数ってのは絶対不変の法則
無限云々ってのは詭弁でしかないわな

どんな数字もって言うと小数や虚数とかも範囲に入ってくるから絶対不変ではない（２×０．５＝１で奇数になる）
素数であるってことは自然数の為、この記事の論争とは関係ないっちゃないけど

それ以前に、その書き方だと無限大に2がかかるので
無限大は数じゃないと言われてしまうかも

＞全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾。背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数の集合には含まれない。

これが一番説得力感じるかな

記事の1.奇数が何を言ってるのかというと

"全ての素数の積"なるものが偶数だと仮定すると
式の変形自体は無矛盾なので、偶数=奇数になる矛盾が発生したのならば
仮定である「"全ての素数の積"なるものは偶数」という命題は偽というもの
ただし、偶数ではないから奇数というのは論理の飛躍
無限大に発散するものに対して自然数と同じ法則、扱い方は出来ないという典例なのです

>>27 でも指摘されているけど
1.はそれ自身論点の先取りというか考えている命題の真偽を用いていて無意味
Pを全ての素数の積とおいてそれが偶数か奇数か,さらに言えば2*奇数*奇数…の偶奇を議論しているのに(P/3)を偶数だとして奇数であるという結論を導いている

とりあえず俺の頭じゃ理解できないということは分かった

無限大は整数ではない。だからその整数としての偶奇も“考えない”。
幽霊の国籍考えないだろ？

他にも有理数だけが並ぶ数列の極限が無理数になったりするんだぞ
初項 a[1] = 1, 漸化式 a[n+1] = a[n]/2 + 1/a[n] で定められる数列は
どの項も正の有理数(1, 3/2, 17/12, 577/408, ...)だが極限は √2
このとき極限に「もっとも簡単な整数比で表したときの分母分子は？」と問うことはできない。各項には問えたのにな。