ニコニコ大百科

オイラーの公式は何度見ても感動する。
自然ってもの凄いところで繋がってるんだな。

便利だなぁとは思うけど美しさは感じない

虚数単位もπも自然対数の底も
出所が全く関係ないところがポイントだよな
特に虚数単位なんて完全に理論先行なのに

すごいのは置いといて
なんで
＝－１
ではないの？
見た目のため？

見ためじゃね？
0，1，π，e，iという数学の基本的な数が綺麗に集結してるのが見えるし

>>4
=-1でもいいと思うけど、
そうしちゃうと0が出てこないから
=0の方が俺は格好良いと思う

加と積、実数と虚数、整数と無理数、指数、それにゼロが同時に出てきてる。
それでいて式の形はいたってシンプル。
様式美ってもののひとつだと思うな。

　Σ(1/k!) =e　は入れないの？定義式よりはるかに早くeに収束するし

俺はの場合＝-１で板書されてたな
左辺が三大数で右辺が定数
左辺が無理数と虚数で右辺が実数
左辺がオイラーが足したのは(=)で右辺が-1

数学音痴な俺から言わせてもらうと美しさもなにもあったものじゃない。ただ拒否反応が出るのみ…orz

ごめん最後入力ミスっとるが根本的に間違ってるな
オイラーの愛したのは　と書こうとしてたがそれは公式のほうだな(eulerのiθ公式)

オイラーの等式
(π^2)/6 = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) + …
とかに対して何でそうなるの？っていう疑問を突き詰めるとより深い概念に到達するのが数学の面白い所だな。
そして、その結論があまりにも自然に秩序立っている事に美しさを感じるんだろう。
まぁ、こう言うのは自分で計算したり考えたりしないと分からない事ではあると思う。結論だけ聞いても意味が無い。

何を知りたいときに使うの？

何を知りたいときに使うというか、連続や微積を扱うほぼあらゆる場面に顔を出してきて使うことになる
数学は言わずともかな、力学電気電子工学熱力学他に尽く出てくるから物理学も工学もネイピア数無しには成り立たない
もっと言えばネイピア数無しに現代の生活は成り立たない
化学でも使う（化学反応の速度等）
経済でも使う（金利計算）
工場でもシステム運用でも使う（稼働率計算等）
確率論や統計学みたいなあらゆる分野で応用されてる科学にも頻出する（各種分布）


現代科学の多くは微積を利用する上に
ネイピア数自体が数学的な扱いに関して滅茶苦茶便利な性質を持つ
だから非常に多用され、振り向けばネイピア数がいる状態

簡単な例なら高校物理によくあるばね振り子は二次方程式で解けるようになったりする
もちろん問題にもよるし単純な振動はわざわざ難しくして考える必要もないけど

>>12
微分方程式
dy/dx = y
を満たす解が、
y = e^x + C (Cは定数)
だから重要なんだよ。

つまり、変化率が量と一致する現象を記述する時には必ず出て来る訳。
それで、そういう現象は自然界に沢山ある訳。
例えば、今原発問題で重要な放射性物質の量の推移も、この指数関数で記述される。


まぁこの観点から言うと、指数関数である事が本質だから、 e^x じゃなくて、例えば 2^x でも良いんだけど、2^x を微分すると 2^x にはならないで、（1じゃない定数）× 2^x になるんだな。
微分して定数がかかる関数を、指数関数の標準的なものとして扱うのは面倒だし、理論としてもすっきりしない。
だから、微分してもそのままの自然対数の底 e が使われる訳。

まとめると、
指数関数 y = a^x (a>0,a≠1)を微分して dy/dx = y にちょうどなってくれる a は e=2.71828…だけ。
だから重要。

長いけどこんな感じ。

書いていて、
数学の込み入った部分を除いたら指数関数である事が一番大切で、
自然対数の底はその標準的なものって伝えるのが一番分り易い説明かも、と思った。

いきなり、e は lim_(n→∞)(1+1/n)^n で定義される数と言っても、
「だから何？」で終了かもな。
それについていける人は、多分数学科に行くようなタイプだろうし。

記事の数値小数第15位が間違ってるな（1じゃなくて5）

定義はlim(n→∞)(1+n)の1/n乗でも同じ。

ナニを一発二発一発二発しごく

って覚えた(無論ナニは脳内で2，7に変換

>>18
lim(n→0) (1+n)^(1/n)
かと思われ
lim(n→∞) (1+n)^(1/n)=1
だよ

定義は理解できるし便利だとも思うけど、なぜこんな物を思い付いたのか発見者を小一時間問い詰めたい

数学者が思いついたときには「こんなもん何の役に立つんだよﾌﾟｹﾞﾗｵﾌﾟｽｗｗｗｗｗ」とか言われて
黙殺されたのが百年以上後に役に立ったりするから純粋数学は大事だな

>>21>>22
英語版Wikipediaに書いてあるよ。自然対数の底はヤコブ・ベルヌーイが金利計算の複利を調べて発見したとの事。

概略を言うと、期間1/nで利率1/nの貸金を、期間1だけ複利で借りると、借金は
(1+1/n)^n
になる。この値はnが大きくなれば、大きくなる。
つまり複利では期間と利率をn等分して貸した方が儲かるって事。
じゃあ、nを大きくしていくとどうなるのか？と考えてe=lim(1+1/n)^nに行き着いたという訳。
無限大にいかないのが面白い。

>>8
exp(x)をテーラー展開してx=1にすれば導出できるし有っても無くても

>>23
成る程、分からん

1/1000の確率で当たるくじを1000回引いたとき、当たりが少なくとも1回出る確率 ≒ 63.2% ≒ 1-1/e
http://dic.nicovideo.jp/a/%E7%A2%BA%E7%8E%87#column

テイラー展開の式で
1 +1/2! +1/3! +1/4! +...
ってやれば求まるざん

<script>for(i=c=0;i<64;i++,c+=1/p)for(j=p=1;j<=i;j++)p*=j;alert(c)</script>
↑をメモ帳に貼り付けてe.htmlにして保存、ダブルクリック

>>26
わざわざファイル作らなくても
javascript:
の後ろにそのスクリプトくっつけてブラウザの
URL欄に突っ込めばいいんじゃない？

>>24
例えば、１年後倍になる銀行に１ドルあずけたら一年後には２ドルになるが、
これを半年後にいったん引き出してまた預けるということをすると
半年後には1.5倍になってるから一年後には1×1.5×1.5=2.25ドルになる。
３か月に一回引き出してまた預けるということを行うと、１年後には1×1.25×1.25×1.25×1.25=2.44140625ドルになる。
ではいったん引き出してまた預けるということを限りなく短い周期で何度も行うとお金は無限に増えそうだが、実はeよりも多くは増えないって話。

自然定数の体

>>28
>>24じゃないけどすごくよく分かった
やっぱり身近なものに例えられると数学が苦手でも理解できるね
数学が苦手な人の為にもこの例えを記事に載せてもいいんじゃないかな