τ(数学定数)単語

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タウ
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τ(タウ)とは、円に関する数学定数である。

概要

円周の半径に対する。ある円の円周が、半径の何倍であるかを表す値である。

広く知られている円周率πは、円の直径に対するである。
したがって、τ=2π=6.283...である。

一部の数学者が、円周に関する数学定数τの方が自然であるとしている。

通常、数学で円を議論する際は半径を基本にすることが多く、直径は工学などを除けば円周率を決めるときぐらいしか出てこない。
円周はπを用いて表記すると2πrであるため、円が絡む数学公式には多くの場合係数2が書かれている。
τを用いれば、多くの公式が簡単に(そして者によれば「本質的に」)書けるというである。

自然かどうか」「本質的かどうか」は感覚によるもので、数学議論ではない。
また、π古代ギリシャ時代から使われている定数であり、今更これを変えようという議論が支持を得ているわけではない。

πの代わりにτを使っても数学の性質が変わるものではないため、使いたいなら(断りを入れた上で)使えばよいし、それでは混乱するような場合は適宜πに置き換えればいいだろう。

τを用いた数学公式

度をラジアン(弧度法)で表記したとき、「1周=τと表せるのが最大の利点である。

現在高校数学Ⅱ弧度法を学習するが、πが「半周」であることに違和感を覚えた人は多いだろう。
例えば、45°は1/8周なのに、πを使うと1/4πと表記しなければならない。

τを使えば、1/8周は1/8τであり、直感的である。

円周の長さ/扇形の弧の長さ

lを円周、rを半径とすれば

l=τr

l'を扇形の弧の長さ、θを中心とすれば、

l'=θr

円周の長さを、係数を用いずに表すことができる。これは定義より明らかである。

扇形の弧の長さの公式πを用いた場合と変わらないが、中心1/6τと表記されていれば「円周の1/6だから円周を6で割ればいいんだな!」と直感的な表記になる。

円の面積/扇形の面積

円の面積をSとすれば

S=(1/2)τ

扇形の面積をS'とすれば

S'=(1/2)θ

円の面積だけは、係数1/2をかけなければならない

今のところこれが最もわかりやすいτへの反論であろう。

しかし、円の面積は円周の積分である。
1次式を積分しているのだから係数1/2がかかるのはむしろ自然ではないかという反論もできる。

小学校教科書レベルの反論としては、面積公式は多くの場合「÷2」があるので、今更1つ増えたぐらいで覚える手間はさほど変わりないといえる。
そもそも、算数教科書をひもとけば、円の面積を導出する際、途中で「円の面積=半径×円周÷2という表現が出てくる。これは、アルキメデスが導出した円の面積公式と同じ表現であり、「なぜ円の面積がこの公式になるのか」を考える上ではこちらの方がより本質的である。

また、これらの公式は、円周/円の面積中心360°(τ rad)の扇形と同じ形で表記することができる。公式の統一化ができるのである。

球の表面積、体積

球の表面積をSとすれば、

S=2τ

体積をVとすれば、

V=(2/3)τ

τは球に外接する円柱の体積、2τはその側面積なので、アルキメデスが導出した「球の表面積は、それに外接する円柱の側面積に等しい」「球の体積は、それに外接する円柱の体積の2/3である」という性質が係数として端的に示される。

係数が示すもの

τを用いると、他にも係数が示すものが分かりやすくなることがある。

具体的には、以下のような手順となる。

表面積

球の中心を通る直線を引き、球の表面との交点の一方を「北極」とする。以下地球のそれと同様に「緯度」「緯線」を定義する。

いま緯度θの緯線に沿って球を切断し、さらに緯度θ+dθで切断した輪切りを考える。この輪切りの側面を長方形と見なせば、縦rdθ、横τrcosθと表せる。よって、面積dSは以下のような式となる。

dS=τr2cosθdθ

よって、球の表面積Sは以下のような式でめられる。

S=2∫0(τ/4)τr2cosθdθ
  =2τr2[sinθ]0(τ/4)
  =2τr2

cosθ積分sinθであり、sin(τ/4)=1なのでこの部分が綺麗に消える。
係数の「2」は半球から2倍した分であることが途中式からわかる。

体積

同様に、中心からの距離xの面で切断し、さらにそれに行な距離x+dxの面で切断した輪切りを考え、これを円柱と見なす。

この「円柱」の底面積は半径(r2-x2)の円のそれである。
高さをdxと置けば、体積dVは以下のようになる。

dV=(1/2)τ{(r2-x2)}2dx

よって、球の体積Vは以下のようにめられる。

V=2×(1/2)τ0r(r2-x2)dx
  =τ[r2x-(1/3)x3]0r
  =τ(r3-(1/3)r3)
  =(2/3)τr3

なぜ係数が2/3などという中途半端な数なのかと言えば、3行に「1-(1/3)」が出てくるからで、この「1/3」は二次式を積分したからである。
τを用いると、円の面積公式に登場する「1/2」が半球から2倍した分を相殺するので、これが端的に示される。

三角関数の周期

sin x, cos xの周期は、τ

tan x の周期は、τ/2

sinとcosは1周、tanは半周すると元に戻ることが端的に示される。

オイラーの等式

eiτ=1

史上最も美しいといわれるオイラーの等式を、より簡潔に表記することができる。

これもτを導入する利点として挙げられるが、そもそもオイラーの等式は、オイラーの公式eiθ=cosθ+isinθにおいて、偏θに「キリのよい数」を代入したものであることを思い出そう。

θπを代入した場合、偏に「半周」を代入したことになる。
θτを代入した場合、偏に「1周」を代入したことになるので、より「キリがよい」。

すなわち、「偏が1周だから、コサインは1でサインは0だな!」と納得しやすいのである。

ディラック定数

hをプランク定数とすれば、ディラック定数ℏは、

ℏ=h/τ

周波数など、「1周」で割ったりかけたりするものは、係数2を省略できる。

ただし、クーロン定数のように、2πにさらに係数がかかっている場合、あまり手間は変わらない。

プログラミング

プログラミング言語によっては標準でτが使える。

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τ(数学定数)

25 ななしのよっしん
2023/04/20(木) 11:01:26 ID: k8ehCcoHGR
数学本質には関わらない単なる表記の違いに過ぎないのはその通りなんだけど、τで表記したほうが式や係数が表すものが示唆的になるからτを支持したい。

τを使えば
「円錐の体積が1/3τ、球の体積が2/3τ円柱の体積が3/3τって表せる」
とか、
>>23の、「円の面積が円周の積分であることを式自身が示す」
とかは典例だけど、式を使うのが人間である以上、式や係数が何を表してるのかが示唆的に表現されてるていうのは大事だと思う。
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26 ななしのよっしん
2023/04/23(日) 12:44:49 ID: 7K24j4cbdQ
円周率が半径を基準にしていないことで、数学の発展が150年は遅れたと思ってる。
数学本質がないから変える必要がないというのは、全て終わって公式に整理された後だから言える事であって、研究中の段階は大きな障害になる。

例えば0.49382715640444852...という一見ランダム無理数のように見える数を見て、0.1234567891011121314...というチャンパーノウン定数の4倍だと気付ける者が一体どれだけいるだろうか。ラマヌジャンくらいだろう。

このように数学本質は変わらなくとも、意味な演算を挟むことで規則性が消えて隠れてしまう。ここからそもそも規則性があることに気付き、元の規則性を掘り出すなど、天才的な直感に頼るほかない。

式を本質的明示的に表すことは、発見や研究の難易に直結する。
そうすることで、奇跡的な天才の直感に頼る必要なく、今まで見逃されてきた法則性に気付く可性が上がることは容易に理解ができる。

πτに直すことは、未来数学の発展に寄与する
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
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27 ななしのよっしん
2023/04/23(日) 13:14:23 ID: Sjl6Ftfq4S
ギリシャだけでなく日本の和算でもπの計算してるしπの方が自然なのだろう
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28 ななしのよっしん
2023/05/10(水) 17:17:56 ID: k8ehCcoHGR
ギリシャ古代数学でも和算でも、建築や土木で柱や丸太の太さを物理的に測るのがまず直径だったから、それで円周率πが直径基準になったに過ぎない。

円の大きさを数学的に規定するのは半径なので、数学的に考えたら半径基準のτのほうが自然だと、個人的には思う。
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29 ななしのよっしん
2023/06/03(土) 15:56:07 ID: 7oPl0FAFP3
逆格子ベクトル
|G|=2π/d=τ/d

フーリエ変換
∫[f(x)e^(-2πixξ)dx, x, -, ]=∫[f(x)e^(-τixξ)dx, x, -, ]

フーリエ逆変換
∫[f(x)e^(2πixξ)dξ, ξ, -, ]=∫[f(x)e^(τixξ)dξ, ξ, -, ]
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30 J
2023/06/04(日) 14:34:23 ID: YVjMZzB6vz
自然数無限積  1×2×3×4×・・・=(2π)=τ
素数無限積   2×3×5×7×・・・=(2π)^2=τ^2
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31 ななしのよっしん
2024/02/01(木) 14:49:58 ID: Y5xGDJULKL
工学系は直径使うことが多いからπのままのほうが都合が良いってのはよく言われるし
数式という抽的な合理性める数学ではτのほうが断然良い

つまりπ止するんじゃなく、
πτ/2 として定義しなおすだけで解決するんだよこれ
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32 ななしのよっしん
2024/02/27(火) 05:46:23 ID: wZ4CYyfeHr
算数レベルならπのほうがいい。
ただ微分積分がはいってきたあたりではτのほうがいいな。

τではなくπメインで使われてる理由はたぶん「これまでずっとπだったから」だろうな。
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33 ななしのよっしん
2024/02/27(火) 06:03:09 ID: wZ4CYyfeHr
>>24
長いで見れば変えたほうがいい気がする
変えたところでこれまでの表記の意味を変えてしまうものではないし。
でも世界同時でやらんと難しいよな。日本だけ変えても、海外の論文とか読みにくくなるし。

AIの発達で2πτにしたり、逆向きの電流を新たな記号で表してそれを自動で書き換えて表示するような機が付けば日本だけやっちゃっても行けるかもしれないな。

翻訳も付けば理系らが英語の勉強しなくてすんで、その時間を物理数学に回せてなおいい。
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34 ななしのよっしん
2024/03/23(土) 00:14:21 ID: Ze1Q9yVmH8
「円周は直径の3倍ちょっと」って言われてもイマイチピンと来ないけど
「円周は半径の6倍ちょっと」の方なら円の中に正六角形が内接するイメージ出来るから、初めて習う時にも取っつきやすいなって気はするよね
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