巨大数単語

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今週のおすすめ この記事は第333回のオススメ記事に選ばれました!
より大きな数が体感できるような記事に編集していきましょう。

概要

 巨大数とは、日常で使われる事がい程の巨大な数である。とはいえ、その意味するところは曖昧で、どこからが巨大数でどこまでがそうでないかは人それぞれの考え方に拠るだろう。

 科学数学その他の分野では、しばしば一般的な範囲内をかにえた数が現れる。このうちなじみ深いものとしては、「宇宙に存在するの数」や「人体に含まれる原子の数」などといった宇宙ミクロに関連した数や、「~通り」などで表される組み合わせ論的数(累乗や階乗といった演算が絡むため)などがあると思う。

 しかし、巨大数の世界広大で、そういったまだ辛うじて理解の範疇に収まるような数は、ほんの氷山の一角に過ぎない。これまでに考察、考案された数の中には、具体的なモノで例える事が不可能であったり、想像することすら不可能となるような、途方もく巨大な数が存在する。本記事では、そうした様々な巨大数を紹介する。

日常の数を超えて

 一、十、、千、万、億、兆・・・といった、々になじみの深い数の単位がある。普段々が日常的に用いうる数というのはおおよそ兆までといえるだろう。しかし、これにはさらに・・・といったさらに大きな単位が存在する。詳しくは数の単位一覧を参照の事。

 ただし、このように漢字表記による単位は、大きくなればなるほど具体的な桁数がわかりにくくなり、実用に適さない。このため科学数学では、その桁数を数を用いて、例えば1040(1の後に0が40個続く数)、9.876...×1054(9876...と続く55桁の数)といった表記をする。

 ちなみに、前述の漢字による数の単位で一般的に用いられるものとしては無量大数(1068)が最大であるが、数表記であれば容易にそれをえて、10128や109999といった数を作る事ができる。

このオーダーの数の比較例

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指数の上の指数

 この辺りから、いよいよ巨大数らしい暴な数となってくる。
 例えば、1010000000000などと、数そのものが膨大な数になってきた場合、=101010とまとめる事ができる。さらに、10101000と右肩の数を増やしたり、10101010とさらに数を積み重ねる事で、容易に巨大な数に発展させる事ができる(原則として、このように数を重ねた場合、計算は右上側から行う)。

 だが同時にこれらの数は、桁数そのものが爆発的に増大しているため、もはや想像することすら困難な数となってしまう。既にこの段階で、観測可宇宙の全物質をインクに変えても、1000...000と十進表記する事は不可能である。
 しかし物理学の分野でも、喰らい付くようにこのオーダーの数が幾つか弾き出されている。以下に実例を挙げる。

このオーダーの数の比較例

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純粋数学の世界へ

 既にここまででも凄まじい数の世界であるが、例えば数の積み重ねそのものを爆発的に増大させる、そういった操作の繰り返しそのものを爆発的に増大させる、などといった方法により、さらに巨大な数を作る事が出来る。ただしこのオーダーになると、もはや物理学ですら手の及ばない数(前述のタワーがその限界と思って良い)となり、そこから先の世界は純数学のみに委ねられる。また、数を駆使しても書き下すのが困難ないし不可能な数となってくるため、特殊な数学記号が必要となる。

タワー表記(クヌースの矢印表記)

詳しくは個別記事を参照。

  • xy=x↑y と表記する。
  • x↑x↑…(y回)…↑x↑x (= xx(y回)x) = x↑↑yと表記する。
  • x↑↑x↑↑…(y回)…↑↑x↑↑x = x↑↑↑y
  • x↑↑↑x↑↑↑…(y回)…↑↑↑x↑↑↑x = x↑↑↑↑y

・・・というに、↑の本数をどんどん増やしていくことができる。
これらは足し算掛け算累乗の発展と同様であるが、タワー表記と同様、↑表記以上は必ず右から計算することに注意。ハイパー演算子の記事も参照のこと。

多角形表記

、○といった図形の中に自然数を入れる記法。

  • 三角形の中のnは、nのn乗と定義される。
  • 二重の三角形の中のnは、三nの三n乗となる。
  • 形の中のnは、n重の三角形の中のnを表す。
  • マルの中のnは、n重の四形の中のnを表す。
  • さらに、マル=五形と見なすと、さらに高いレベルの演算が可となる。
  • 六角形の中のnは、n重の五形(またはマル)の中のnを表す。
  • 形の中のnは、n重の六角形(またはマル)の中のnを表す。
  • ・・・

 このように、操作の繰り返しをさらに繰り返していくという性質はタワー表記と似ているが、その根本となる拡大操作の方法はだいぶ異なるため、多形表記の大きさをタワー表記に変換させることは結構難しい。

このオーダーの数の比較例(といってもあまりネタが無い・・・)

厳密に表そうとするとさらに表記の工夫が必要になり、また複雑になるため、ここではおおよそのオーダーを示す。

  • 約10↑↑117: ビジービーバー関数のn=12の時の下限の一つ
  • 約10↑↑257: ②(多形表記)の大きさ
  • 約10↑↑7625597484986: 3↑↑↑3(グラハム数の計算過程の数)の大きさ
  • 約10↑↑↑10: ⑨(多形表記)の大きさ
  • 約10↑↑↑(10↑↑257): 6形の中の2(モーザー数の計算過程の数)の大きさ
  • 約10↑↑↑(10↑↑7625597484986): 3↑↑↑↑3(グラハム数の計算過程の数)の大きさ

関連動画

究極の超巨大数

 さらに、こういった数で表される数だけタワー表記の↑を重ねる、といった操作やその繰り返しにより、さらに途方もない数が得られる。こういったオーダーに相当する数がモーザー数やグラハム数といったものである。

モーザー数

 前述の多形表記を用いて表される、②形の中の2がモーザー数である。②は既に相当な巨大数なので、その数だけ多形の拡大を繰り返したこの数は、とんでもない数になるのは自明である。ただし、グラハム数とべるとかに小さい。

 ネット上におけるモーザー数の扱いは、にグラハム数やその関連関数との較ばかりに始終しているのがどで、その具体的な大きさに言及しているものはあまり見かけない。下記動画ではタワー表記を用いてその大きさに迫る試みを行っており、おおよそ3↑↑↑...(②-2本の↑)...↑↑↑3に相当するとしている。

グラハム数

 『巨大さ以外で意味のある考察がなされた最大の数』としてギネスブックに載っているこの数は、まさに究極の数であり巨大数におけると言えるだろう。タワー表記を用いて表された3↑↑↑↑3を土台(1段階)とする。この土台の数は既に、

 3↑↑↑↑3
=3↑↑↑3↑↑↑3
=3↑↑↑(3↑↑3↑↑3)
=3↑↑↑(3↑↑333)
=3↑↑↑(3↑↑7625597484987)
=3↑↑↑(33(7625597484987回)3)
=3↑↑3↑↑…(33(7625597484987回)3回)…↑↑3↑↑3

などという数であるが、さらにこの数の本数だけ3と3の間に↑を挟んだ数が第2段階(この段階でモーザー数をえる)、さらにその数だけ3と3の間に↑を挟んだ数が第3段階・・・と繰り返していった64段階の数、これがグラハム数である。ブラケット括弧を駆使すれば、グラハム数をの上の限られたスペースに記すことは可であるが、その姿はさながら数の柱となった矢印に支えられた巨大なの様である。

関連動画

グラハム数の先へ

 グラハム数より大きな数を作る事は簡単である。例えばグラハム数+1としてもいいし、グラハム数グラハム数としても良いだろう。ただこのレベルじゃグラハム数と表記的に限りなく近似するだけのレベルに過ぎないので、より本質的な意味でえるならば、例えばタワー表記よりもさらに上位の表記であるチェーン表記を用いて、3→3→3→3と書けば、それだけでグラハム数をかにえる数が生まれる。チェーン表記の拡大の巨大さを知れば、次は3→3→…(グラハム数回)…→3→3などという着想に至るのも難しくないであろう。2chでは、そういった数をもえる伝説の巨大数、「ふぃっしゅ数」などが生み出されたりもしている。

 しかしグラハム数において何より重要なのは、「単なる巨大さ以外で意味のある考察がなされた最大の数」という部分である。逆に言えば、現時点でグラハム数より大きな数というのは、それこそ宇宙の外に飛び出してしまった状態と同じで、数学的にですら、ただ何の意味も持たない虚無世界が広がっているに過ぎないのである(限数以上の概念を除く)。論、今後の数学の発展の中で、グラハム数よりも大きな、巨大さ以外の意味を持つ数が生まれ、例えば現時点でグラハム数の大きさを示すだけの具に留まっているチェーン表記が、やがてその本領を発揮するようになる時が来るかも知れない。

無限、そして

 限は『数』ではない。巨大数とはあくまで有限の『数』であり、よって限を振りかざして「グラハム数より大きい」「ふぃっしゅ数より大きい」などというのは意味な議論と言える。でも面いもので、数学的には限にも大小の概念があるらしいが、ここではその性質には触れない事にする。

 ただこれだけは言える。限はタワーやグラハム数などとは違い、日常生活でも頻繁に飛び交うの一つである。しかし、これまで想像すら許されない程の巨大数の世界を何とか眺めようとした末に見えてくるのは、そこまでやっても決して辿り付く事のできない、そして常にそういった数の背後にある、『限』というものの本当の恐ろしさである。

 また、巨大数というものを追いめる一方で、逆に以前の段階に戻って、めてその大きさを良く良く想像してみる事も必要かも知れない。かのふぃっしゅ数を開発したふぃっしゅっしゅ氏が、考えさせられる言葉を掲示板に残している。

628 名前ふぃっしゅっしゅgicLO6y6 :02/07/23 23:48
すみません文学的才がないものでどうやって表現していいか
分かりません。というよりも、私自身ふぃっしゅ数の大きさが
どの程度のものなのか想像できていません。グラハム数ですら、
どの程度の大きさなのか想像もつきません。

ただ、よく考えてみると、10^1000という数ですら、本当にその
大きさを想像できているか?となると、実はできていないのでは
ないでしょうか。冪上という演算を定義して、その演算を理解
するにつれて、だんだん10^1000はとてつもなく大きな数だ、
ということが分かった気になるだけのこと。それはつまり、
10^1000の大きさを私たちの頭が認識したというよりは、冪上の
定義を理解した、というだけのことでしょう。

ふぃっしゅ数の大きさについても同じことで、定義を理解して、
そういうものだと納得する以外には、説明がつかないと思うのです。

2ちゃんねる 数学スレ一番でかい数出した奴が優勝exit” よりミラーexit

 考えてみれば、例えば無量大数(1068)が巨大数の世界の中では小さいとはいえども、その無量大数ですら、「銀河一つに含まれる全ての原子の総数」に相当する数なのである。そんな膨大な数を、本当に々は想像できるだろうか。少なくとも「無量大数()」などと嘲笑えるような対でない事は確かではないだろうか。

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巨大数

118 ななしのよっしん
2021/05/08(土) 00:56:47 ID: gaPIbdnc54
10^10^...^10^100
  ↑googol
Googolgoogolplex?てどんなもん?
119 ななしのよっしん
2021/07/08(木) 22:30:20 ID: Na4c+51ZhE
いつか巨大数の中から素数が発見される日は来るのだろうか
120 ななしのよっしん
2021/07/21(水) 18:58:35 ID: oUGxaIrRhB
既知の最大の素数2000万桁をえてるので
これも一応小さい方ではあるが巨大数と言えるのではなかろうか

リトリとかグラハム数レベルの大きさとなると…
とりあえずその巨大数自身に近似されるほどに素数どうしの均間隔が広がるってのがヤバイ
(逆に素数の占める割合はその巨大数分の1に近似)
見つかる…かなあ…?
121 ななしのよっしん
2021/07/21(水) 22:30:07 ID: 0R4KMoyP3W
発見されてる最大の素数については、メルセンヌ数の記事を参照されたし
例えば(3↑↑↑n )+1 が素数であるかどうかを現実的な時間で判定できるアルゴリズムがあるかって話になりそうだけど、すごく難しそうですね…
122 匿名
2021/08/04(水) 04:14:34 ID: R2Qhvkvfp8
(3↑↑↑n)+1は自明偶数なのでは
123 ななしのよっしん
2021/08/04(水) 06:39:26 ID: 0R4KMoyP3W
うん、普通に間違えた (3↑↑↑n)+2でも(3↑↑↑n)+4でも(3↑↑↑n)-2でも好きなの選んでくれ
124 ななしのよっしん
2022/02/18(金) 03:45:37 ID: EBD+G4kxVh
グラハム数の下1億桁くらいを印刷した同人誌買ったんだが、数字が細かすぎて読めない。スクリーントーンだよこれ
125 ななしのよっしん
2022/05/06(金) 18:17:12 ID: QH8Yc7gYio
印刷物にすることに意味があるとは全く思えないけどなw
一応聞いたことはあるんだよね、ソレ
巨大数に関する論文でも同人誌にした方がまだ役に立ちそうだが・・・(買う人がいるかどうかは別)
126 ななしのよっしん
2022/05/26(木) 13:14:39 ID: 2RWwYTlrfj
少し前にあるカードゲームでこの巨大数の大小が数学の専門じゃないとわからないってのが問題になったんだ
相手より大きい数を絶対に宣言したいってときにわかりもしない巨大数持ち込んだせいで参加者もジャッジも数学の面から答えが出せないっていう
まぁ大半はルール突きまくって気持ちよくなってる連中がジャッジ困らせるための質問だったんだけどね
巨大数クラスタの中にもこの問題知って分かりもしないカードの処理でレスバトル吹っ掛けてたし、まぁ知識自慢ってのはオタクカルマだな
127 ななしのよっしん
2022/06/15(水) 00:16:49 ID: D2vEGHUjOn
>>124
も買ったよ
90倍の顕微で見たら驚くほどくっきり印刷されてたw